Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52615 / 102099
↖ ↑ ↗
← S 70.336306°
W 35.488586°		 ← 102.78 m → S 70.336306°
W 35.485840°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.337231°
W 35.488586°		 ← 102.77 m →
10 561 m²		 S 70.337231°
W 35.485840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401424407958984 y=0.778957366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401424407958984 × 217)
    floor (0.401424407958984 × 131072)
    floor (52615.5)     		tx = 52615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778957366943359 × 217)
    floor (0.778957366943359 × 131072)
    floor (102099.5)     		ty = 102099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52615 / 102099 ti = "17/52615/102099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52615/102099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52615 ÷ 217
    52615 ÷ 131072     		x = 0.401420593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102099 ÷ 217
    102099 ÷ 131072     		y = 0.778953552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401420593261719 × 2 - 1) × π
    -0.197158813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.61939268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778953552246094 × 2 - 1) × π
    -0.557907104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.75271686080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61939268} λ = -0.61939268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75271686080811))-π/2
    2×atan(0.173302464595237)-π/2
    2×0.171598099869713-π/2
    0.343196199739425-1.57079632675     		φ = -1.22760013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61939268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.488586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22760013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.336306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52615 KachelY 102099 -0.61939268 -1.22760013 -35.488586 -70.336306
    Oben rechts KachelX + 1 52616 KachelY 102099 -0.61934474 -1.22760013 -35.485840 -70.336306
    Unten links KachelX 52615 KachelY + 1 102100 -0.61939268 -1.22761626 -35.488586 -70.337231
    Unten rechts KachelX + 1 52616 KachelY + 1 102100 -0.61934474 -1.22761626 -35.485840 -70.337231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22760013--1.22761626) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22760013--1.22761626) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61939268--0.61934474) × cos(-1.22760013) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336498613054541 × 6371000     		do = 102.775337901327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61939268--0.61934474) × cos(-1.22761626) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336483423648467 × 6371000     		du = 102.770698665737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22760013)-sin(-1.22761626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336498613054541-0.336483423648467)×R²
    abs(-0.61934474--0.61939268)×1.51894060735902e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51894060735902e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51894060735902e-05×40589641000000     		ar = 10561.3900888933m²