Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52610 / 49912
↖ ↑ ↗
← S 68.122482°
E108.995361°		 ← 227.62 m → S 68.122482°
E109.000855°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
S 68.124529°
E108.995361°		 ← 227.60 m →
51 812 m²		 S 68.124529°
E109.000855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802772521972656 y=0.761604309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802772521972656 × 216)
    floor (0.802772521972656 × 65536)
    floor (52610.5)     		tx = 52610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761604309082031 × 216)
    floor (0.761604309082031 × 65536)
    floor (49912.5)     		ty = 49912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52610 / 49912 ti = "16/52610/49912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52610/49912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52610 ÷ 216
    52610 ÷ 65536     		x = 0.802764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49912 ÷ 216
    49912 ÷ 65536     		y = 0.7615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802764892578125 × 2 - 1) × π
    0.60552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90232792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64366041417249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90232792} λ = 1.90232792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64366041417249))-π/2
    2×atan(0.193271292944343)-π/2
    2×0.190917357048881-π/2
    0.381834714097763-1.57079632675     		φ = -1.18896161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90232792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.995361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18896161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.122482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52610 KachelY 49912 1.90232792 -1.18896161 108.995361 -68.122482
    Oben rechts KachelX + 1 52611 KachelY 49912 1.90242380 -1.18896161 109.000855 -68.122482
    Unten links KachelX 52610 KachelY + 1 49913 1.90232792 -1.18899734 108.995361 -68.124529
    Unten rechts KachelX + 1 52611 KachelY + 1 49913 1.90242380 -1.18899734 109.000855 -68.124529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18896161--1.18899734) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18896161--1.18899734) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90232792-1.90242380) × cos(-1.18896161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372623680767378 × 6371000     		do = 227.617726879651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90232792-1.90242380) × cos(-1.18899734) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372590523713418 × 6371000     		du = 227.597472844167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18896161)-sin(-1.18899734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372623680767378-0.372590523713418)×R²
    abs(1.90242380-1.90232792)×3.31570539602311e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31570539602311e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31570539602311e-05×40589641000000     		ar = 51811.6449143531m²