Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52608 / 102462
↖ ↑ ↗
← S 70.669063°
W 35.507813°		 ← 101.10 m → S 70.669063°
W 35.505066°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.669972°
W 35.507813°		 ← 101.10 m →
10 222 m²		 S 70.669972°
W 35.505066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401371002197266 y=0.781726837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401371002197266 × 217)
    floor (0.401371002197266 × 131072)
    floor (52608.5)     		tx = 52608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781726837158203 × 217)
    floor (0.781726837158203 × 131072)
    floor (102462.5)     		ty = 102462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52608 / 102462 ti = "17/52608/102462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52608/102462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52608 ÷ 217
    52608 ÷ 131072     		x = 0.4013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102462 ÷ 217
    102462 ÷ 131072     		y = 0.781723022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4013671875 × 2 - 1) × π
    -0.197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61972824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781723022460938 × 2 - 1) × π
    -0.563446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77011795537019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61972824} λ = -0.61972824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77011795537019))-π/2
    2×atan(0.170312898319571)-π/2
    2×0.168694250970399-π/2
    0.337388501940799-1.57079632675     		φ = -1.23340782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61972824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.507813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23340782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.669063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52608 KachelY 102462 -0.61972824 -1.23340782 -35.507813 -70.669063
    Oben rechts KachelX + 1 52609 KachelY 102462 -0.61968030 -1.23340782 -35.505066 -70.669063
    Unten links KachelX 52608 KachelY + 1 102463 -0.61972824 -1.23342369 -35.507813 -70.669972
    Unten rechts KachelX + 1 52609 KachelY + 1 102463 -0.61968030 -1.23342369 -35.505066 -70.669972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23340782--1.23342369) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dl = 101.107769999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23340782--1.23342369) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dr = 101.107769999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61972824--0.61968030) × cos(-1.23340782) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331023960363011 × 6371000     		do = 101.103238051771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61972824--0.61968030) × cos(-1.23342369) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331008985034647 × 6371000     		du = 101.098664201024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23340782)-sin(-1.23342369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331023960363011-0.331008985034647)×R²
    abs(-0.61968030--0.61972824)×1.49753283644194e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49753283644194e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49753283644194e-05×40589641000000     		ar = 10222.0917133139m²