Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52604 / 102460
↖ ↑ ↗
← S 70.667245°
W 35.518799°		 ← 101.11 m → S 70.667245°
W 35.516052°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.668154°
W 35.518799°		 ← 101.11 m →
10 223 m²		 S 70.668154°
W 35.516052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401340484619141 y=0.781711578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401340484619141 × 217)
    floor (0.401340484619141 × 131072)
    floor (52604.5)     		tx = 52604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781711578369141 × 217)
    floor (0.781711578369141 × 131072)
    floor (102460.5)     		ty = 102460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52604 / 102460 ti = "17/52604/102460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52604/102460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52604 ÷ 217
    52604 ÷ 131072     		x = 0.401336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102460 ÷ 217
    102460 ÷ 131072     		y = 0.781707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.19732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61991999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.56341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77002208157095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61991999} λ = -0.61991999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77002208157095))-π/2
    2×atan(0.170329227646958)-π/2
    2×0.168710119950349-π/2
    0.337420239900698-1.57079632675     		φ = -1.23337609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61991999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23337609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.667245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52604 KachelY 102460 -0.61991999 -1.23337609 -35.518799 -70.667245
    Oben rechts KachelX + 1 52605 KachelY 102460 -0.61987205 -1.23337609 -35.516052 -70.667245
    Unten links KachelX 52604 KachelY + 1 102461 -0.61991999 -1.23339196 -35.518799 -70.668154
    Unten rechts KachelX + 1 52605 KachelY + 1 102461 -0.61987205 -1.23339196 -35.516052 -70.668154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23337609--1.23339196) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23337609--1.23339196) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61991999--0.61987205) × cos(-1.23337609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331053901333506 × 6371000     		do = 101.112382794607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61991999--0.61987205) × cos(-1.23339196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331038926171834 × 6371000     		du = 101.107808994771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23337609)-sin(-1.23339196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331053901333506-0.331038926171834)×R²
    abs(-0.61987205--0.61991999)×1.49751616720373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49751616720373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49751616720373e-05×40589641000000     		ar = 10223.0163207562m²