Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52604 / 102028
↖ ↑ ↗
← S 70.270581°
W 35.518799°		 ← 103.11 m → S 70.270581°
W 35.516052°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.271508°
W 35.518799°		 ← 103.10 m →
10 628 m²		 S 70.271508°
W 35.516052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401340484619141 y=0.778415679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401340484619141 × 217)
    floor (0.401340484619141 × 131072)
    floor (52604.5)     		tx = 52604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778415679931641 × 217)
    floor (0.778415679931641 × 131072)
    floor (102028.5)     		ty = 102028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52604 / 102028 ti = "17/52604/102028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52604/102028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52604 ÷ 217
    52604 ÷ 131072     		x = 0.401336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102028 ÷ 217
    102028 ÷ 131072     		y = 0.778411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.19732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61991999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.55682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74931334093509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61991999} λ = -0.61991999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74931334093509))-π/2
    2×atan(0.173893307880605)-π/2
    2×0.172171658255158-π/2
    0.344343316510317-1.57079632675     		φ = -1.22645301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61991999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22645301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.270581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52604 KachelY 102028 -0.61991999 -1.22645301 -35.518799 -70.270581
    Oben rechts KachelX + 1 52605 KachelY 102028 -0.61987205 -1.22645301 -35.516052 -70.270581
    Unten links KachelX 52604 KachelY + 1 102029 -0.61991999 -1.22646919 -35.518799 -70.271508
    Unten rechts KachelX + 1 52605 KachelY + 1 102029 -0.61987205 -1.22646919 -35.516052 -70.271508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22645301--1.22646919) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22645301--1.22646919) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61991999--0.61987205) × cos(-1.22645301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337578615926993 × 6371000     		do = 103.10519857761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61991999--0.61987205) × cos(-1.22646919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337563385691881 × 6371000     		du = 103.100546871781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22645301)-sin(-1.22646919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337578615926993-0.337563385691881)×R²
    abs(-0.61987205--0.61991999)×1.52302351120182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52302351120182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52302351120182e-05×40589641000000     		ar = 10628.1307467391m²