Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52602 / 102432
↖ ↑ ↗
← S 70.641769°
W 35.524292°		 ← 101.24 m → S 70.641769°
W 35.521545°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.642679°
W 35.524292°		 ← 101.24 m →
10 249 m²		 S 70.642679°
W 35.521545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401325225830078 y=0.781497955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401325225830078 × 217)
    floor (0.401325225830078 × 131072)
    floor (52602.5)     		tx = 52602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781497955322266 × 217)
    floor (0.781497955322266 × 131072)
    floor (102432.5)     		ty = 102432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52602 / 102432 ti = "17/52602/102432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52602/102432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52602 ÷ 217
    52602 ÷ 131072     		x = 0.401321411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102432 ÷ 217
    102432 ÷ 131072     		y = 0.781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.197357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62001586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62001586} λ = -0.62001586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76867984838159))-π/2
    2×atan(0.170558002689805)-π/2
    2×0.168932436469372-π/2
    0.337864872938745-1.57079632675     		φ = -1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62001586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.524292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52602 KachelY 102432 -0.62001586 -1.23293145 -35.524292 -70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 52603 KachelY 102432 -0.61996792 -1.23293145 -35.521545 -70.641769
    Unten links KachelX 52602 KachelY + 1 102433 -0.62001586 -1.23294734 -35.524292 -70.642679
    Unten rechts KachelX + 1 52603 KachelY + 1 102433 -0.61996792 -1.23294734 -35.521545 -70.642679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23293145--1.23294734) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23293145--1.23294734) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62001586--0.61996792) × cos(-1.23293145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 101.240519530994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62001586--0.61996792) × cos(-1.23294734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331458444471493 × 6371000     		du = 101.235940681888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23293145)-sin(-1.23294734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331458444471493)×R²
    abs(-0.61996792--0.62001586)×1.49916935798799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49916935798799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49916935798799e-05×40589641000000     		ar = 10248.8714603176m²