Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52601 / 102458
↖ ↑ ↗
← S 70.665426°
W 35.527039°		 ← 101.12 m → S 70.665426°
W 35.524292°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.666335°
W 35.527039°		 ← 101.12 m →
10 224 m²		 S 70.666335°
W 35.524292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401317596435547 y=0.781696319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401317596435547 × 217)
    floor (0.401317596435547 × 131072)
    floor (52601.5)     		tx = 52601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781696319580078 × 217)
    floor (0.781696319580078 × 131072)
    floor (102458.5)     		ty = 102458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52601 / 102458 ti = "17/52601/102458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52601/102458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52601 ÷ 217
    52601 ÷ 131072     		x = 0.401313781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102458 ÷ 217
    102458 ÷ 131072     		y = 0.781692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401313781738281 × 2 - 1) × π
    -0.197372436523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.62006380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781692504882812 × 2 - 1) × π
    -0.563385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76992620777171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62006380} λ = -0.62006380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76992620777171))-π/2
    2×atan(0.170345558539974)-π/2
    2×0.168725990365992-π/2
    0.337451980731985-1.57079632675     		φ = -1.23334435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62006380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.527039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23334435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.665426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52601 KachelY 102458 -0.62006380 -1.23334435 -35.527039 -70.665426
    Oben rechts KachelX + 1 52602 KachelY 102458 -0.62001586 -1.23334435 -35.524292 -70.665426
    Unten links KachelX 52601 KachelY + 1 102459 -0.62006380 -1.23336022 -35.527039 -70.666335
    Unten rechts KachelX + 1 52602 KachelY + 1 102459 -0.62001586 -1.23336022 -35.524292 -70.666335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23334435--1.23336022) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dl = 101.107769999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23334435--1.23336022) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dr = 101.107769999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62006380--0.62001586) × cos(-1.23334435) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331083851406711 × 6371000     		do = 101.121530318113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62006380--0.62001586) × cos(-1.23336022) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.3310688764118 × 6371000     		du = 101.11695656921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23334435)-sin(-1.23336022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331083851406711-0.3310688764118)×R²
    abs(-0.62001586--0.62006380)×1.4974994911654e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.4974994911654e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.4974994911654e-05×40589641000000     		ar = 10223.9412088749m²