Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52601 / 102431
↖ ↑ ↗
← S 70.640858°
W 35.527039°		 ← 101.25 m → S 70.640858°
W 35.524292°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.641769°
W 35.527039°		 ← 101.24 m →
10 249 m²		 S 70.641769°
W 35.524292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401317596435547 y=0.781490325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401317596435547 × 217)
    floor (0.401317596435547 × 131072)
    floor (52601.5)     		tx = 52601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781490325927734 × 217)
    floor (0.781490325927734 × 131072)
    floor (102431.5)     		ty = 102431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52601 / 102431 ti = "17/52601/102431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52601/102431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52601 ÷ 217
    52601 ÷ 131072     		x = 0.401313781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102431 ÷ 217
    102431 ÷ 131072     		y = 0.781486511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401313781738281 × 2 - 1) × π
    -0.197372436523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.62006380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.562973022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76863191148197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62006380} λ = -0.62006380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76863191148197))-π/2
    2×atan(0.170566178907629)-π/2
    2×0.168940381553367-π/2
    0.337880763106733-1.57079632675     		φ = -1.23291556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62006380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.527039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23291556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.640858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52601 KachelY 102431 -0.62006380 -1.23291556 -35.527039 -70.640858
    Oben rechts KachelX + 1 52602 KachelY 102431 -0.62001586 -1.23291556 -35.524292 -70.640858
    Unten links KachelX 52601 KachelY + 1 102432 -0.62006380 -1.23293145 -35.527039 -70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 52602 KachelY + 1 102432 -0.62001586 -1.23293145 -35.524292 -70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23291556--1.23293145) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23291556--1.23293145) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62006380--0.62001586) × cos(-1.23291556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331488427774958 × 6371000     		do = 101.245098354771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62006380--0.62001586) × cos(-1.23293145) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 101.240519531228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23291556)-sin(-1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331488427774958-0.331473436165073)×R²
    abs(-0.62001586--0.62006380)×1.49916098854397e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49916098854397e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49916098854397e-05×40589641000000     		ar = 10249.3349996847m²