Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52600 / 102038
↖ ↑ ↗
← S 70.279851°
W 35.529785°		 ← 103.04 m → S 70.279851°
W 35.527039°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.280778°
W 35.529785°		 ← 103.03 m →
10 615 m²		 S 70.280778°
W 35.527039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401309967041016 y=0.778491973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401309967041016 × 217)
    floor (0.401309967041016 × 131072)
    floor (52600.5)     		tx = 52600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778491973876953 × 217)
    floor (0.778491973876953 × 131072)
    floor (102038.5)     		ty = 102038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52600 / 102038 ti = "17/52600/102038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52600/102038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52600 ÷ 217
    52600 ÷ 131072     		x = 0.40130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102038 ÷ 217
    102038 ÷ 131072     		y = 0.778488159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778488159179688 × 2 - 1) × π
    -0.556976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74979270993129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62011173} λ = -0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74979270993129))-π/2
    2×atan(0.173809968796842)-π/2
    2×0.172090764146694-π/2
    0.344181528293389-1.57079632675     		φ = -1.22661480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22661480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.279851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52600 KachelY 102038 -0.62011173 -1.22661480 -35.529785 -70.279851
    Oben rechts KachelX + 1 52601 KachelY 102038 -0.62006380 -1.22661480 -35.527039 -70.279851
    Unten links KachelX 52600 KachelY + 1 102039 -0.62011173 -1.22663097 -35.529785 -70.280778
    Unten rechts KachelX + 1 52601 KachelY + 1 102039 -0.62006380 -1.22663097 -35.527039 -70.280778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22661480--1.22663097) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22661480--1.22663097) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62011173--0.62006380) × cos(-1.22661480) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		do = 103.037185749108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62011173--0.62006380) × cos(-1.22663097) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.337411097308133 × 6371000     		du = 103.032537618363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22661480)-sin(-1.22663097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337426319013152-0.337411097308133)×R²
    abs(-0.62006380--0.62011173)×1.52217050193859e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.52217050193859e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.52217050193859e-05×40589641000000     		ar = 10614.5556284274m²