Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 526 / 1550
↖ ↑ ↗
← N 40.044437°
W133.769531°		 ← 7 481.67 m → N 40.044437°
W133.681641°		 →
↑
7 485.35 m
↓
↑
7 485.35 m
↓
N 39.977120°
W133.769531°		 ← 7 489.05 m →
56 030 549 m²		 N 39.977120°
W133.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1285400390625 y=0.3785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1285400390625 × 212)
    floor (0.1285400390625 × 4096)
    floor (526.5)     		tx = 526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3785400390625 × 212)
    floor (0.3785400390625 × 4096)
    floor (1550.5)     		ty = 1550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 526 / 1550 ti = "12/526/1550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/526/1550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 526 ÷ 212
    526 ÷ 4096     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1550 ÷ 212
    1550 ÷ 4096     		y = 0.37841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.763922432345215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763922432345215))-π/2
    2×atan(2.14667993503337)-π/2
    2×1.13485180486948-π/2
    2.26970360973897-1.57079632675     		φ = 0.69890728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69890728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.044437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 526 KachelY 1550 -2.33471876 0.69890728 -133.769531 40.044437
    Oben rechts KachelX + 1 527 KachelY 1550 -2.33318478 0.69890728 -133.681641 40.044437
    Unten links KachelX 526 KachelY + 1 1551 -2.33471876 0.69773237 -133.769531 39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 527 KachelY + 1 1551 -2.33318478 0.69773237 -133.681641 39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69890728-0.69773237) × R
    0.00117491000000003 × 6371000     		dl = 7485.35161000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69890728-0.69773237) × R
    0.00117491000000003 × 6371000     		dr = 7485.35161000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33318478) × cos(0.69890728) × R
    0.00153398000000005 × 0.765545680070707 × 6371000     		do = 7481.66765770822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33318478) × cos(0.69773237) × R
    0.00153398000000005 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 7489.05004327285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69890728)-sin(0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765545680070707-0.766301066922434)×R²
    abs(-2.33318478--2.33471876)×0.000755386851726492×R²
    0.00153398000000005×0.000755386851726492×6371000²
    0.00153398000000005×0.000755386851726492×40589641000000     		ar = 56030549.3683917m²