Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52599 / 102037
↖ ↑ ↗
← S 70.278924°
W 35.532532°		 ← 103.06 m → S 70.278924°
W 35.529785°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.279851°
W 35.532532°		 ← 103.06 m →
10 624 m²		 S 70.279851°
W 35.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401302337646484 y=0.778484344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401302337646484 × 217)
    floor (0.401302337646484 × 131072)
    floor (52599.5)     		tx = 52599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778484344482422 × 217)
    floor (0.778484344482422 × 131072)
    floor (102037.5)     		ty = 102037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52599 / 102037 ti = "17/52599/102037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52599/102037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52599 ÷ 217
    52599 ÷ 131072     		x = 0.401298522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102037 ÷ 217
    102037 ÷ 131072     		y = 0.778480529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401298522949219 × 2 - 1) × π
    -0.197402954101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.62015967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778480529785156 × 2 - 1) × π
    -0.556961059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74974477303167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62015967} λ = -0.62015967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74974477303167))-π/2
    2×atan(0.173818300907576)-π/2
    2×0.172098851915001-π/2
    0.344197703830001-1.57079632675     		φ = -1.22659862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62015967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.532532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22659862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.278924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52599 KachelY 102037 -0.62015967 -1.22659862 -35.532532 -70.278924
    Oben rechts KachelX + 1 52600 KachelY 102037 -0.62011173 -1.22659862 -35.529785 -70.278924
    Unten links KachelX 52599 KachelY + 1 102038 -0.62015967 -1.22661480 -35.532532 -70.279851
    Unten rechts KachelX + 1 52600 KachelY + 1 102038 -0.62011173 -1.22661480 -35.529785 -70.279851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22659862--1.22661480) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dl = 103.082779998791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22659862--1.22661480) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dr = 103.082779998791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62015967--0.62011173) × cos(-1.22659862) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337441550043409 × 6371000     		do = 103.063335128926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62015967--0.62011173) × cos(-1.22661480) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		du = 103.058683180239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22659862)-sin(-1.22661480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337441550043409-0.337426319013152)×R²
    abs(-0.62011173--0.62015967)×1.52310302574676e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52310302574676e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52310302574676e-05×40589641000000     		ar = 10623.8153335259m²