Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52598 / 102465
↖ ↑ ↗
← S 70.671790°
W 35.535278°		 ← 101.09 m → S 70.671790°
W 35.532532°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.672699°
W 35.535278°		 ← 101.08 m →
10 214 m²		 S 70.672699°
W 35.532532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401294708251953 y=0.781749725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401294708251953 × 217)
    floor (0.401294708251953 × 131072)
    floor (52598.5)     		tx = 52598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781749725341797 × 217)
    floor (0.781749725341797 × 131072)
    floor (102465.5)     		ty = 102465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52598 / 102465 ti = "17/52598/102465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52598/102465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52598 ÷ 217
    52598 ÷ 131072     		x = 0.401290893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102465 ÷ 217
    102465 ÷ 131072     		y = 0.781745910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401290893554688 × 2 - 1) × π
    -0.197418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62020761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781745910644531 × 2 - 1) × π
    -0.563491821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.77026176606905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62020761} λ = -0.62020761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77026176606905))-π/2
    2×atan(0.170288407263719)-π/2
    2×0.168670450192153-π/2
    0.337340900384306-1.57079632675     		φ = -1.23345543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62020761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.535278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23345543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.671790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52598 KachelY 102465 -0.62020761 -1.23345543 -35.535278 -70.671790
    Oben rechts KachelX + 1 52599 KachelY 102465 -0.62015967 -1.23345543 -35.532532 -70.671790
    Unten links KachelX 52598 KachelY + 1 102466 -0.62020761 -1.23347129 -35.535278 -70.672699
    Unten rechts KachelX + 1 52599 KachelY + 1 102466 -0.62015967 -1.23347129 -35.532532 -70.672699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23345543--1.23347129) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23345543--1.23347129) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62020761--0.62015967) × cos(-1.23345543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330979034127821 × 6371000     		do = 101.089516422909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62020761--0.62015967) × cos(-1.23347129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330964067985801 × 6371000     		du = 101.084945377907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23345543)-sin(-1.23347129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330979034127821-0.330964067985801)×R²
    abs(-0.62015967--0.62020761)×1.49661420201785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49661420201785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49661420201785e-05×40589641000000     		ar = 10214.2642245102m²