Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52596 / 102436
↖ ↑ ↗
← S 70.645410°
W 35.540771°		 ← 101.22 m → S 70.645410°
W 35.538025°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 70.646320°
W 35.540771°		 ← 101.22 m →
10 241 m²		 S 70.646320°
W 35.538025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401279449462891 y=0.781528472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401279449462891 × 217)
    floor (0.401279449462891 × 131072)
    floor (52596.5)     		tx = 52596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781528472900391 × 217)
    floor (0.781528472900391 × 131072)
    floor (102436.5)     		ty = 102436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52596 / 102436 ti = "17/52596/102436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52596/102436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52596 ÷ 217
    52596 ÷ 131072     		x = 0.401275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102436 ÷ 217
    102436 ÷ 131072     		y = 0.781524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.19744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62030348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.56304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76887159598007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62030348} λ = -0.62030348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76887159598007))-π/2
    2×atan(0.170525301737652)-π/2
    2×0.168900659726475-π/2
    0.337801319452951-1.57079632675     		φ = -1.23299501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62030348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.540771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23299501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.645410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52596 KachelY 102436 -0.62030348 -1.23299501 -35.540771 -70.645410
    Oben rechts KachelX + 1 52597 KachelY 102436 -0.62025554 -1.23299501 -35.538025 -70.645410
    Unten links KachelX 52596 KachelY + 1 102437 -0.62030348 -1.23301089 -35.540771 -70.646320
    Unten rechts KachelX + 1 52597 KachelY + 1 102437 -0.62025554 -1.23301089 -35.538025 -70.646320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23299501--1.23301089) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23299501--1.23301089) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62030348--0.62025554) × cos(-1.23299501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331413468888624 × 6371000     		do = 101.222203981209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62030348--0.62025554) × cos(-1.23301089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331398486295214 × 6371000     		du = 101.217627911529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23299501)-sin(-1.23301089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331413468888624-0.331398486295214)×R²
    abs(-0.62025554--0.62030348)×1.49825934109282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49825934109282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49825934109282e-05×40589641000000     		ar = 10240.5687021594m²