Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52594 / 49814
↖ ↑ ↗
← S 67.921011°
E108.907470°		 ← 229.61 m → S 67.921011°
E108.912964°		 →
↑
229.55 m
↓
↑
229.55 m
↓
S 67.923076°
E108.907470°		 ← 229.59 m →
52 704 m²		 S 67.923076°
E108.912964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802528381347656 y=0.760108947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802528381347656 × 216)
    floor (0.802528381347656 × 65536)
    floor (52594.5)     		tx = 52594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760108947753906 × 216)
    floor (0.760108947753906 × 65536)
    floor (49814.5)     		ty = 49814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52594 / 49814 ti = "16/52594/49814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52594/49814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52594 ÷ 216
    52594 ÷ 65536     		x = 0.802520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49814 ÷ 216
    49814 ÷ 65536     		y = 0.760101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802520751953125 × 2 - 1) × π
    0.60504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90079394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.52020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63426478184695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90079394} λ = 1.90079394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63426478184695))-π/2
    2×atan(0.195095756524792)-π/2
    2×0.192675524565754-π/2
    0.385351049131508-1.57079632675     		φ = -1.18544528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90079394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.907470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18544528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.921011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52594 KachelY 49814 1.90079394 -1.18544528 108.907470 -67.921011
    Oben rechts KachelX + 1 52595 KachelY 49814 1.90088982 -1.18544528 108.912964 -67.921011
    Unten links KachelX 52594 KachelY + 1 49815 1.90079394 -1.18548131 108.907470 -67.923076
    Unten rechts KachelX + 1 52595 KachelY + 1 49815 1.90088982 -1.18548131 108.912964 -67.923076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18544528--1.18548131) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dl = 229.547129999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18544528--1.18548131) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dr = 229.547129999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90079394-1.90088982) × cos(-1.18544528) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375884463219325 × 6371000     		do = 229.60958066638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90079394-1.90088982) × cos(-1.18548131) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375851075180034 × 6371000     		du = 229.589185533165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18544528)-sin(-1.18548131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375884463219325-0.375851075180034)×R²
    abs(1.90088982-1.90079394)×3.33880392907049e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.33880392907049e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.33880392907049e-05×40589641000000     		ar = 52703.8794459777m²