Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52591 / 49839
↖ ↑ ↗
← S 67.972574°
E108.890991°		 ← 229.10 m → S 67.972574°
E108.896485°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 67.974634°
E108.890991°		 ← 229.08 m →
52 485 m²		 S 67.974634°
E108.896485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802482604980469 y=0.760490417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802482604980469 × 216)
    floor (0.802482604980469 × 65536)
    floor (52591.5)     		tx = 52591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760490417480469 × 216)
    floor (0.760490417480469 × 65536)
    floor (49839.5)     		ty = 49839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52591 / 49839 ti = "16/52591/49839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52591/49839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52591 ÷ 216
    52591 ÷ 65536     		x = 0.802474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49839 ÷ 216
    49839 ÷ 65536     		y = 0.760482788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802474975585938 × 2 - 1) × π
    0.604949951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90050632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760482788085938 × 2 - 1) × π
    -0.520965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63666162682796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90050632} λ = 1.90050632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63666162682796))-π/2
    2×atan(0.194628702191965)-π/2
    2×0.192225556121491-π/2
    0.384451112242981-1.57079632675     		φ = -1.18634521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90050632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.890991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18634521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.972574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52591 KachelY 49839 1.90050632 -1.18634521 108.890991 -67.972574
    Oben rechts KachelX + 1 52592 KachelY 49839 1.90060220 -1.18634521 108.896485 -67.972574
    Unten links KachelX 52591 KachelY + 1 49840 1.90050632 -1.18638117 108.890991 -67.974634
    Unten rechts KachelX + 1 52592 KachelY + 1 49840 1.90060220 -1.18638117 108.896485 -67.974634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18634521--1.18638117) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dl = 229.101159999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18634521--1.18638117) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dr = 229.101159999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90050632-1.90060220) × cos(-1.18634521) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375050376105964 × 6371000     		do = 229.100077318735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90050632-1.90060220) × cos(-1.18638117) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375017040784134 × 6371000     		du = 229.079714388058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18634521)-sin(-1.18638117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375050376105964-0.375017040784134)×R²
    abs(1.90060220-1.90050632)×3.33353218300303e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.33353218300303e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.33353218300303e-05×40589641000000     		ar = 52484.7608899284m²