Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52590 / 49840
↖ ↑ ↗
← S 67.974634°
E108.885498°		 ← 229.06 m → S 67.974634°
E108.890991°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 67.976694°
E108.885498°		 ← 229.04 m →
52 460 m²		 S 67.976694°
E108.890991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802467346191406 y=0.760505676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802467346191406 × 216)
    floor (0.802467346191406 × 65536)
    floor (52590.5)     		tx = 52590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760505676269531 × 216)
    floor (0.760505676269531 × 65536)
    floor (49840.5)     		ty = 49840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52590 / 49840 ti = "16/52590/49840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52590/49840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52590 ÷ 216
    52590 ÷ 65536     		x = 0.802459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49840 ÷ 216
    49840 ÷ 65536     		y = 0.760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802459716796875 × 2 - 1) × π
    0.60491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90041045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.52099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6367575006272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90041045} λ = 1.90041045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6367575006272))-π/2
    2×atan(0.194610043293309)-π/2
    2×0.192207578168376-π/2
    0.384415156336752-1.57079632675     		φ = -1.18638117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90041045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.885498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18638117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.974634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52590 KachelY 49840 1.90041045 -1.18638117 108.885498 -67.974634
    Oben rechts KachelX + 1 52591 KachelY 49840 1.90050632 -1.18638117 108.890991 -67.974634
    Unten links KachelX 52590 KachelY + 1 49841 1.90041045 -1.18641712 108.885498 -67.976694
    Unten rechts KachelX + 1 52591 KachelY + 1 49841 1.90050632 -1.18641712 108.890991 -67.976694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18638117--1.18641712) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18638117--1.18641712) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90041045-1.90050632) × cos(-1.18638117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375017040784134 × 6371000     		do = 229.055822052535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90041045-1.90050632) × cos(-1.18641712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374983714247675 × 6371000     		du = 229.03546661165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18638117)-sin(-1.18641712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375017040784134-0.374983714247675)×R²
    abs(1.90050632-1.90041045)×3.33265364586555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33265364586555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33265364586555e-05×40589641000000     		ar = 52460.0303170656m²