Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52590 / 102444
↖ ↑ ↗
← S 70.652691°
W 35.557251°		 ← 101.16 m → S 70.652691°
W 35.554505°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 70.653601°
W 35.557251°		 ← 101.16 m →
10 235 m²		 S 70.653601°
W 35.554505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401233673095703 y=0.781589508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401233673095703 × 217)
    floor (0.401233673095703 × 131072)
    floor (52590.5)     		tx = 52590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781589508056641 × 217)
    floor (0.781589508056641 × 131072)
    floor (102444.5)     		ty = 102444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52590 / 102444 ti = "17/52590/102444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52590/102444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52590 ÷ 217
    52590 ÷ 131072     		x = 0.401229858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102444 ÷ 217
    102444 ÷ 131072     		y = 0.781585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.197540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62059110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.56317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76925509117703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62059110} λ = -0.62059110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76925509117703))-π/2
    2×atan(0.170459918641328)-π/2
    2×0.168837123484507-π/2
    0.337674246969014-1.57079632675     		φ = -1.23312208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62059110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.557251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23312208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.652691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52590 KachelY 102444 -0.62059110 -1.23312208 -35.557251 -70.652691
    Oben rechts KachelX + 1 52591 KachelY 102444 -0.62054317 -1.23312208 -35.554505 -70.652691
    Unten links KachelX 52590 KachelY + 1 102445 -0.62059110 -1.23313796 -35.557251 -70.653601
    Unten rechts KachelX + 1 52591 KachelY + 1 102445 -0.62054317 -1.23313796 -35.554505 -70.653601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23312208--1.23313796) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23312208--1.23313796) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62059110--0.62054317) × cos(-1.23312208) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.331293577495752 × 6371000     		do = 101.164479349893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62059110--0.62054317) × cos(-1.23313796) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.331278594233727 × 6371000     		du = 101.159904030585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23312208)-sin(-1.23313796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331293577495752-0.331278594233727)×R²
    abs(-0.62054317--0.62059110)×1.49832620247037e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.49832620247037e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.49832620247037e-05×40589641000000     		ar = 10234.7286537715m²