Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52587 / 49819
↖ ↑ ↗
← S 67.931333°
E108.869019°		 ← 229.48 m → S 67.931333°
E108.874512°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 67.933396°
E108.869019°		 ← 229.46 m →
52 660 m²		 S 67.933396°
E108.874512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802421569824219 y=0.760185241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802421569824219 × 216)
    floor (0.802421569824219 × 65536)
    floor (52587.5)     		tx = 52587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760185241699219 × 216)
    floor (0.760185241699219 × 65536)
    floor (49819.5)     		ty = 49819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52587 / 49819 ti = "16/52587/49819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52587/49819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52587 ÷ 216
    52587 ÷ 65536     		x = 0.802413940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49819 ÷ 216
    49819 ÷ 65536     		y = 0.760177612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802413940429688 × 2 - 1) × π
    0.604827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90012283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760177612304688 × 2 - 1) × π
    -0.520355224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63474415084315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90012283} λ = 1.90012283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63474415084315))-π/2
    2×atan(0.195002256080222)-π/2
    2×0.19258545089434-π/2
    0.385170901788681-1.57079632675     		φ = -1.18562542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90012283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18562542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.931333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52587 KachelY 49819 1.90012283 -1.18562542 108.869019 -67.931333
    Oben rechts KachelX + 1 52588 KachelY 49819 1.90021870 -1.18562542 108.874512 -67.931333
    Unten links KachelX 52587 KachelY + 1 49820 1.90012283 -1.18566144 108.869019 -67.933396
    Unten rechts KachelX + 1 52588 KachelY + 1 49820 1.90021870 -1.18566144 108.874512 -67.933396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18562542--1.18566144) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18562542--1.18566144) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90012283-1.90021870) × cos(-1.18562542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375717527411495 × 6371000     		do = 229.483670717576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90012283-1.90021870) × cos(-1.18566144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375684146200675 × 6371000     		du = 229.463281882259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18562542)-sin(-1.18566144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375717527411495-0.375684146200675)×R²
    abs(1.90021870-1.90012283)×3.33812108200826e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33812108200826e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33812108200826e-05×40589641000000     		ar = 52660.3581461162m²