Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52585 / 48681
↖ ↑ ↗
← S 65.460543°
E108.858032°		 ← 253.67 m → S 65.460543°
E108.863525°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
S 65.462824°
E108.858032°		 ← 253.65 m →
64 336 m²		 S 65.462824°
E108.863525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802391052246094 y=0.742820739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802391052246094 × 216)
    floor (0.802391052246094 × 65536)
    floor (52585.5)     		tx = 52585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742820739746094 × 216)
    floor (0.742820739746094 × 65536)
    floor (48681.5)     		ty = 48681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52585 / 48681 ti = "16/52585/48681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52585/48681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52585 ÷ 216
    52585 ÷ 65536     		x = 0.802383422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48681 ÷ 216
    48681 ÷ 65536     		y = 0.742813110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802383422851562 × 2 - 1) × π
    0.604766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89993108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742813110351562 × 2 - 1) × π
    -0.485626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52563976730791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89993108} λ = 1.89993108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52563976730791))-π/2
    2×atan(0.217481874554432)-π/2
    2×0.214147165041115-π/2
    0.428294330082231-1.57079632675     		φ = -1.14250200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89993108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.858032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14250200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.460543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52585 KachelY 48681 1.89993108 -1.14250200 108.858032 -65.460543
    Oben rechts KachelX + 1 52586 KachelY 48681 1.90002695 -1.14250200 108.863525 -65.460543
    Unten links KachelX 52585 KachelY + 1 48682 1.89993108 -1.14254181 108.858032 -65.462824
    Unten rechts KachelX + 1 52586 KachelY + 1 48682 1.90002695 -1.14254181 108.863525 -65.462824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14250200--1.14254181) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14250200--1.14254181) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89993108-1.90002695) × cos(-1.14250200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415319798252041 × 6371000     		do = 253.672253411209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89993108-1.90002695) × cos(-1.14254181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415283583742386 × 6371000     		du = 253.650134031614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14250200)-sin(-1.14254181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415319798252041-0.415283583742386)×R²
    abs(1.90002695-1.89993108)×3.62145096557409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62145096557409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62145096557409e-05×40589641000000     		ar = 64335.9642781313m²