Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52582 / 102025
↖ ↑ ↗
← S 70.267800°
W 35.579224°		 ← 103.12 m → S 70.267800°
W 35.576477°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.268727°
W 35.579224°		 ← 103.11 m →
10 630 m²		 S 70.268727°
W 35.576477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401172637939453 y=0.778392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401172637939453 × 217)
    floor (0.401172637939453 × 131072)
    floor (52582.5)     		tx = 52582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778392791748047 × 217)
    floor (0.778392791748047 × 131072)
    floor (102025.5)     		ty = 102025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52582 / 102025 ti = "17/52582/102025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52582/102025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52582 ÷ 217
    52582 ÷ 131072     		x = 0.401168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102025 ÷ 217
    102025 ÷ 131072     		y = 0.778388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.197662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62097460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.556777954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.74916953023623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62097460} λ = -0.62097460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74916953023623))-π/2
    2×atan(0.173918317397013)-π/2
    2×0.172195933606491-π/2
    0.344391867212983-1.57079632675     		φ = -1.22640446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62097460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.579224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22640446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.267800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52582 KachelY 102025 -0.62097460 -1.22640446 -35.579224 -70.267800
    Oben rechts KachelX + 1 52583 KachelY 102025 -0.62092666 -1.22640446 -35.576477 -70.267800
    Unten links KachelX 52582 KachelY + 1 102026 -0.62097460 -1.22642064 -35.579224 -70.268727
    Unten rechts KachelX + 1 52583 KachelY + 1 102026 -0.62092666 -1.22642064 -35.576477 -70.268727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22640446--1.22642064) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22640446--1.22642064) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62097460--0.62092666) × cos(-1.22640446) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337624315514869 × 6371000     		do = 103.119156408294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62097460--0.62092666) × cos(-1.22642064) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337609085544951 × 6371000     		du = 103.114504783461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22640446)-sin(-1.22642064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337624315514869-0.337609085544951)×R²
    abs(-0.62092666--0.62097460)×1.52299699188729e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52299699188729e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52299699188729e-05×40589641000000     		ar = 10629.5695629945m²