Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52581 / 102445
↖ ↑ ↗
← S 70.653601°
W 35.581970°		 ← 101.16 m → S 70.653601°
W 35.579224°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 70.654511°
W 35.581970°		 ← 101.16 m →
10 234 m²		 S 70.654511°
W 35.579224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401165008544922 y=0.781597137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401165008544922 × 217)
    floor (0.401165008544922 × 131072)
    floor (52581.5)     		tx = 52581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781597137451172 × 217)
    floor (0.781597137451172 × 131072)
    floor (102445.5)     		ty = 102445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52581 / 102445 ti = "17/52581/102445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52581/102445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52581 ÷ 217
    52581 ÷ 131072     		x = 0.401161193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102445 ÷ 217
    102445 ÷ 131072     		y = 0.781593322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401161193847656 × 2 - 1) × π
    -0.197677612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.62102253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781593322753906 × 2 - 1) × π
    -0.563186645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.76930302807665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62102253} λ = -0.62102253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76930302807665))-π/2
    2×atan(0.17045174751717)-π/2
    2×0.168829183070592-π/2
    0.337658366141183-1.57079632675     		φ = -1.23313796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62102253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.581970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23313796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.653601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52581 KachelY 102445 -0.62102253 -1.23313796 -35.581970 -70.653601
    Oben rechts KachelX + 1 52582 KachelY 102445 -0.62097460 -1.23313796 -35.579224 -70.653601
    Unten links KachelX 52581 KachelY + 1 102446 -0.62102253 -1.23315384 -35.581970 -70.654511
    Unten rechts KachelX + 1 52582 KachelY + 1 102446 -0.62097460 -1.23315384 -35.579224 -70.654511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23313796--1.23315384) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dl = 101.17147999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23313796--1.23315384) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dr = 101.17147999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62102253--0.62097460) × cos(-1.23313796) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.331278594233727 × 6371000     		do = 101.159904030585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62102253--0.62097460) × cos(-1.23315384) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.331263610888162 × 6371000     		du = 101.155328685767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23313796)-sin(-1.23315384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331278594233727-0.331263610888162)×R²
    abs(-0.62097460--0.62102253)×1.49833455644344e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.49833455644344e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.49833455644344e-05×40589641000000     		ar = 10234.2657603813m²