Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52577 / 49827
↖ ↑ ↗
← S 67.947838°
E108.814087°		 ← 229.32 m → S 67.947838°
E108.819580°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 67.949900°
E108.814087°		 ← 229.30 m →
52 594 m²		 S 67.949900°
E108.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802268981933594 y=0.760307312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802268981933594 × 216)
    floor (0.802268981933594 × 65536)
    floor (52577.5)     		tx = 52577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760307312011719 × 216)
    floor (0.760307312011719 × 65536)
    floor (49827.5)     		ty = 49827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52577 / 49827 ti = "16/52577/49827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52577/49827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52577 ÷ 216
    52577 ÷ 65536     		x = 0.802261352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49827 ÷ 216
    49827 ÷ 65536     		y = 0.760299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802261352539062 × 2 - 1) × π
    0.604522705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89916409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760299682617188 × 2 - 1) × π
    -0.520599365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63551114123708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89916409} λ = 1.89916409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63551114123708))-π/2
    2×atan(0.194852748565758)-π/2
    2×0.192441416226652-π/2
    0.384882832453304-1.57079632675     		φ = -1.18591349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89916409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.814087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18591349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.947838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52577 KachelY 49827 1.89916409 -1.18591349 108.814087 -67.947838
    Oben rechts KachelX + 1 52578 KachelY 49827 1.89925996 -1.18591349 108.819580 -67.947838
    Unten links KachelX 52577 KachelY + 1 49828 1.89916409 -1.18594949 108.814087 -67.949900
    Unten rechts KachelX + 1 52578 KachelY + 1 49828 1.89925996 -1.18594949 108.819580 -67.949900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18591349--1.18594949) × R
    3.6000000000147e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18591349--1.18594949) × R
    3.6000000000147e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89916409-1.89925996) × cos(-1.18591349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375450547495202 × 6371000     		do = 229.320602649869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89916409-1.89925996) × cos(-1.18594949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375417180924508 × 6371000     		du = 229.300222756562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18591349)-sin(-1.18594949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375450547495202-0.375417180924508)×R²
    abs(1.89925996-1.89916409)×3.33665706937492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33665706937492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33665706937492e-05×40589641000000     		ar = 52593.7190215925m²