Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52577 / 21672
↖ ↑ ↗
← N 51.917167°
E108.814087°		 ← 376.73 m → N 51.917167°
E108.819580°		 →
↑
376.72 m
↓
↑
376.72 m
↓
N 51.913780°
E108.814087°		 ← 376.76 m →
141 928 m²		 N 51.913780°
E108.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802268981933594 y=0.330696105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802268981933594 × 216)
    floor (0.802268981933594 × 65536)
    floor (52577.5)     		tx = 52577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330696105957031 × 216)
    floor (0.330696105957031 × 65536)
    floor (21672.5)     		ty = 21672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52577 / 21672 ti = "16/52577/21672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52577/21672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52577 ÷ 216
    52577 ÷ 65536     		x = 0.802261352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21672 ÷ 216
    21672 ÷ 65536     		y = 0.3306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802261352539062 × 2 - 1) × π
    0.604522705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89916409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3306884765625 × 2 - 1) × π
    0.338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06381567636829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89916409} λ = 1.89916409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06381567636829))-π/2
    2×atan(2.89740548548709)-π/2
    2×1.23846091975773-π/2
    2.47692183951545-1.57079632675     		φ = 0.90612551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89916409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.814087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90612551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.917167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52577 KachelY 21672 1.89916409 0.90612551 108.814087 51.917167
    Oben rechts KachelX + 1 52578 KachelY 21672 1.89925996 0.90612551 108.819580 51.917167
    Unten links KachelX 52577 KachelY + 1 21673 1.89916409 0.90606638 108.814087 51.913780
    Unten rechts KachelX + 1 52578 KachelY + 1 21673 1.89925996 0.90606638 108.819580 51.913780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90612551-0.90606638) × R
    5.91300000000183e-05 × 6371000     		dl = 376.717230000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90612551-0.90606638) × R
    5.91300000000183e-05 × 6371000     		dr = 376.717230000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89916409-1.89925996) × cos(0.90612551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616800059510535 × 6371000     		do = 376.733932884299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89916409-1.89925996) × cos(0.90606638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.616846600830026 × 6371000     		du = 376.762359753043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90612551)-sin(0.90606638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616800059510535-0.616846600830026)×R²
    abs(1.89925996-1.89916409)×4.65413194906672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65413194906672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65413194906672e-05×40589641000000     		ar = 141927.518130557m²