Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52576 / 49826
↖ ↑ ↗
← S 67.945776°
E108.808594°		 ← 229.34 m → S 67.945776°
E108.814087°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 67.947838°
E108.808594°		 ← 229.32 m →
52 584 m²		 S 67.947838°
E108.814087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802253723144531 y=0.760292053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802253723144531 × 216)
    floor (0.802253723144531 × 65536)
    floor (52576.5)     		tx = 52576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760292053222656 × 216)
    floor (0.760292053222656 × 65536)
    floor (49826.5)     		ty = 49826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52576 / 49826 ti = "16/52576/49826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52576/49826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52576 ÷ 216
    52576 ÷ 65536     		x = 0.80224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49826 ÷ 216
    49826 ÷ 65536     		y = 0.760284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89906822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.52056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63541526743784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89906822} λ = 1.89906822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63541526743784))-π/2
    2×atan(0.194871430734607)-π/2
    2×0.192459414961334-π/2
    0.384918829922668-1.57079632675     		φ = -1.18587750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89906822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18587750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.945776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52576 KachelY 49826 1.89906822 -1.18587750 108.808594 -67.945776
    Oben rechts KachelX + 1 52577 KachelY 49826 1.89916409 -1.18587750 108.814087 -67.945776
    Unten links KachelX 52576 KachelY + 1 49827 1.89906822 -1.18591349 108.808594 -67.947838
    Unten rechts KachelX + 1 52577 KachelY + 1 49827 1.89916409 -1.18591349 108.814087 -67.947838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18587750--1.18591349) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18587750--1.18591349) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89906822-1.89916409) × cos(-1.18587750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375483904311023 × 6371000     		do = 229.340976585018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89906822-1.89916409) × cos(-1.18591349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375450547495202 × 6371000     		du = 229.320602649869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18587750)-sin(-1.18591349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375483904311023-0.375450547495202)×R²
    abs(1.89916409-1.89906822)×3.33568158205622e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33568158205622e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33568158205622e-05×40589641000000     		ar = 52583.7819245698m²