Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52573 / 21671
↖ ↑ ↗
← N 51.920556°
E108.792114°		 ← 376.74 m → N 51.920556°
E108.797608°		 →
↑
376.78 m
↓
↑
376.78 m
↓
N 51.917167°
E108.792114°		 ← 376.77 m →
141 956 m²		 N 51.917167°
E108.797608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802207946777344 y=0.330680847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802207946777344 × 216)
    floor (0.802207946777344 × 65536)
    floor (52573.5)     		tx = 52573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330680847167969 × 216)
    floor (0.330680847167969 × 65536)
    floor (21671.5)     		ty = 21671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52573 / 21671 ti = "16/52573/21671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52573/21671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52573 ÷ 216
    52573 ÷ 65536     		x = 0.802200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21671 ÷ 216
    21671 ÷ 65536     		y = 0.330673217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802200317382812 × 2 - 1) × π
    0.604400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89878059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330673217773438 × 2 - 1) × π
    0.338653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06391155016753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89878059} λ = 1.89878059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06391155016753))-π/2
    2×atan(2.89768328407551)-π/2
    2×1.23849048612453-π/2
    2.47698097224906-1.57079632675     		φ = 0.90618465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89878059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90618465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.920556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52573 KachelY 21671 1.89878059 0.90618465 108.792114 51.920556
    Oben rechts KachelX + 1 52574 KachelY 21671 1.89887647 0.90618465 108.797608 51.920556
    Unten links KachelX 52573 KachelY + 1 21672 1.89878059 0.90612551 108.792114 51.917167
    Unten rechts KachelX + 1 52574 KachelY + 1 21672 1.89887647 0.90612551 108.797608 51.917167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90618465-0.90612551) × R
    5.91400000000686e-05 × 6371000     		dl = 376.780940000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90618465-0.90612551) × R
    5.91400000000686e-05 × 6371000     		dr = 376.780940000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89878059-1.89887647) × cos(0.90618465) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.616753508162928 × 6371000     		do = 376.744793256269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89878059-1.89887647) × cos(0.90612551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.616800059510535 × 6371000     		du = 376.773229215851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90618465)-sin(0.90612551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616753508162928-0.616800059510535)×R²
    abs(1.89887647-1.89878059)×4.65513476072266e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65513476072266e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65513476072266e-05×40589641000000     		ar = 141955.614448252m²