Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52566 / 102029
↖ ↑ ↗
← S 70.271508°
W 35.623169°		 ← 103.10 m → S 70.271508°
W 35.620422°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.272435°
W 35.623169°		 ← 103.10 m →
10 628 m²		 S 70.272435°
W 35.620422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401050567626953 y=0.778423309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401050567626953 × 217)
    floor (0.401050567626953 × 131072)
    floor (52566.5)     		tx = 52566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778423309326172 × 217)
    floor (0.778423309326172 × 131072)
    floor (102029.5)     		ty = 102029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52566 / 102029 ti = "17/52566/102029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52566/102029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52566 ÷ 217
    52566 ÷ 131072     		x = 0.401046752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102029 ÷ 217
    102029 ÷ 131072     		y = 0.778419494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401046752929688 × 2 - 1) × π
    -0.197906494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62174159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778419494628906 × 2 - 1) × π
    -0.556838989257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74936127783471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62174159} λ = -0.62174159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74936127783471))-π/2
    2×atan(0.173884972174356)-π/2
    2×0.1721635672016-π/2
    0.344327134403199-1.57079632675     		φ = -1.22646919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62174159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.623169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22646919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.271508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52566 KachelY 102029 -0.62174159 -1.22646919 -35.623169 -70.271508
    Oben rechts KachelX + 1 52567 KachelY 102029 -0.62169365 -1.22646919 -35.620422 -70.271508
    Unten links KachelX 52566 KachelY + 1 102030 -0.62174159 -1.22648537 -35.623169 -70.272435
    Unten rechts KachelX + 1 52567 KachelY + 1 102030 -0.62169365 -1.22648537 -35.620422 -70.272435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22646919--1.22648537) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22646919--1.22648537) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62174159--0.62169365) × cos(-1.22646919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337563385691881 × 6371000     		do = 103.100546871781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62174159--0.62169365) × cos(-1.22648537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		du = 103.09589513896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22646919)-sin(-1.22648537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337563385691881-0.337548155368397)×R²
    abs(-0.62169365--0.62174159)×1.5230323483606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5230323483606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5230323483606e-05×40589641000000     		ar = 10627.6512346559m²