Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52565 / 102031
↖ ↑ ↗
← S 70.273362°
W 35.625915°		 ← 103.07 m → S 70.273362°
W 35.623169°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.274289°
W 35.625915°		 ← 103.07 m →
10 624 m²		 S 70.274289°
W 35.623169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401042938232422 y=0.778438568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401042938232422 × 217)
    floor (0.401042938232422 × 131072)
    floor (52565.5)     		tx = 52565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778438568115234 × 217)
    floor (0.778438568115234 × 131072)
    floor (102031.5)     		ty = 102031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52565 / 102031 ti = "17/52565/102031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52565/102031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52565 ÷ 217
    52565 ÷ 131072     		x = 0.401039123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102031 ÷ 217
    102031 ÷ 131072     		y = 0.778434753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401039123535156 × 2 - 1) × π
    -0.197921752929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.62178952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778434753417969 × 2 - 1) × π
    -0.556869506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.74945715163395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62178952} λ = -0.62178952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74945715163395))-π/2
    2×atan(0.173868301960574)-π/2
    2×0.172147386189724-π/2
    0.344294772379448-1.57079632675     		φ = -1.22650155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62178952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.625915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22650155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.273362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52565 KachelY 102031 -0.62178952 -1.22650155 -35.625915 -70.273362
    Oben rechts KachelX + 1 52566 KachelY 102031 -0.62174159 -1.22650155 -35.623169 -70.273362
    Unten links KachelX 52565 KachelY + 1 102032 -0.62178952 -1.22651773 -35.625915 -70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 52566 KachelY + 1 102032 -0.62174159 -1.22651773 -35.623169 -70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22650155--1.22651773) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22650155--1.22651773) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62178952--0.62174159) × cos(-1.22650155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337532924956546 × 6371000     		do = 103.069739156632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62178952--0.62174159) × cos(-1.22651773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 103.065088340168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22650155)-sin(-1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337532924956546-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.62174159--0.62178952)×1.52305002146802e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52305002146802e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52305002146802e-05×40589641000000     		ar = 10624.4755368215m²