Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52563 / 102030
↖ ↑ ↗
← S 70.272435°
W 35.631409°		 ← 103.10 m → S 70.272435°
W 35.628662°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.273362°
W 35.631409°		 ← 103.09 m →
10 627 m²		 S 70.273362°
W 35.628662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401027679443359 y=0.778430938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401027679443359 × 217)
    floor (0.401027679443359 × 131072)
    floor (52563.5)     		tx = 52563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778430938720703 × 217)
    floor (0.778430938720703 × 131072)
    floor (102030.5)     		ty = 102030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52563 / 102030 ti = "17/52563/102030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52563/102030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52563 ÷ 217
    52563 ÷ 131072     		x = 0.401023864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102030 ÷ 217
    102030 ÷ 131072     		y = 0.778427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401023864746094 × 2 - 1) × π
    -0.197952270507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.62188540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.556854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74940921473433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62188540} λ = -0.62188540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74940921473433))-π/2
    2×atan(0.173876636867685)-π/2
    2×0.172155476513126-π/2
    0.344310953026253-1.57079632675     		φ = -1.22648537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62188540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.631409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22648537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.272435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52563 KachelY 102030 -0.62188540 -1.22648537 -35.631409 -70.272435
    Oben rechts KachelX + 1 52564 KachelY 102030 -0.62183746 -1.22648537 -35.628662 -70.272435
    Unten links KachelX 52563 KachelY + 1 102031 -0.62188540 -1.22650155 -35.631409 -70.273362
    Unten rechts KachelX + 1 52564 KachelY + 1 102031 -0.62183746 -1.22650155 -35.628662 -70.273362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22648537--1.22650155) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22648537--1.22650155) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62188540--0.62183746) × cos(-1.22648537) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		do = 103.095895139199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62188540--0.62183746) × cos(-1.22650155) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337532924956546 × 6371000     		du = 103.091243379389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22648537)-sin(-1.22650155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337548155368397-0.337532924956546)×R²
    abs(-0.62183746--0.62188540)×1.5230411851086e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5230411851086e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5230411851086e-05×40589641000000     		ar = 10627.1717195728m²