Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52561 / 49809
↖ ↑ ↗
← S 67.910685°
E108.726196°		 ← 229.69 m → S 67.910685°
E108.731689°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 67.912750°
E108.726196°		 ← 229.67 m →
52 751 m²		 S 67.912750°
E108.731689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802024841308594 y=0.760032653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802024841308594 × 216)
    floor (0.802024841308594 × 65536)
    floor (52561.5)     		tx = 52561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760032653808594 × 216)
    floor (0.760032653808594 × 65536)
    floor (49809.5)     		ty = 49809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52561 / 49809 ti = "16/52561/49809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52561/49809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52561 ÷ 216
    52561 ÷ 65536     		x = 0.802017211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49809 ÷ 216
    49809 ÷ 65536     		y = 0.760025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802017211914062 × 2 - 1) × π
    0.604034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89763011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760025024414062 × 2 - 1) × π
    -0.520050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63378541285075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89763011} λ = 1.89763011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63378541285075))-π/2
    2×atan(0.195189301801322)-π/2
    2×0.19276563825815-π/2
    0.3855312765163-1.57079632675     		φ = -1.18526505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89763011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18526505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.910685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52561 KachelY 49809 1.89763011 -1.18526505 108.726196 -67.910685
    Oben rechts KachelX + 1 52562 KachelY 49809 1.89772598 -1.18526505 108.731689 -67.910685
    Unten links KachelX 52561 KachelY + 1 49810 1.89763011 -1.18530110 108.726196 -67.912750
    Unten rechts KachelX + 1 52562 KachelY + 1 49810 1.89772598 -1.18530110 108.731689 -67.912750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18526505--1.18530110) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dl = 229.674550000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18526505--1.18530110) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dr = 229.674550000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89763011-1.89772598) × cos(-1.18526505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376051470223437 × 6371000     		do = 229.687638902989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89763011-1.89772598) × cos(-1.18530110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37601806609321 × 6371000     		du = 229.667236068779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18526505)-sin(-1.18530110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376051470223437-0.37601806609321)×R²
    abs(1.89772598-1.89763011)×3.34041302275101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34041302275101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34041302275101e-05×40589641000000     		ar = 52751.062105504m²