Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52560 / 49808
↖ ↑ ↗
← S 67.908619°
E108.720703°		 ← 229.73 m → S 67.908619°
E108.726196°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 67.910685°
E108.720703°		 ← 229.71 m →
52 761 m²		 S 67.910685°
E108.726196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802009582519531 y=0.760017395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802009582519531 × 216)
    floor (0.802009582519531 × 65536)
    floor (52560.5)     		tx = 52560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760017395019531 × 216)
    floor (0.760017395019531 × 65536)
    floor (49808.5)     		ty = 49808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52560 / 49808 ti = "16/52560/49808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52560/49808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52560 ÷ 216
    52560 ÷ 65536     		x = 0.802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49808 ÷ 216
    49808 ÷ 65536     		y = 0.760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89753423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.52001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89753423} λ = 1.89753423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63368953905151))-π/2
    2×atan(0.195208016238355)-π/2
    2×0.192783665800454-π/2
    0.385567331600909-1.57079632675     		φ = -1.18522900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89753423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18522900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.908619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52560 KachelY 49808 1.89753423 -1.18522900 108.720703 -67.908619
    Oben rechts KachelX + 1 52561 KachelY 49808 1.89763011 -1.18522900 108.726196 -67.908619
    Unten links KachelX 52560 KachelY + 1 49809 1.89753423 -1.18526505 108.720703 -67.910685
    Unten rechts KachelX + 1 52561 KachelY + 1 49809 1.89763011 -1.18526505 108.726196 -67.910685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18522900--1.18526505) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18522900--1.18526505) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89753423-1.89763011) × cos(-1.18522900) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376084873864947 × 6371000     		do = 229.732001805865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89753423-1.89763011) × cos(-1.18526505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376051470223437 × 6371000     		du = 229.711597142012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18522900)-sin(-1.18526505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376084873864947-0.376051470223437)×R²
    abs(1.89763011-1.89753423)×3.34036415098327e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34036415098327e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34036415098327e-05×40589641000000     		ar = 52761.250924636m²