Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52559 / 48747
↖ ↑ ↗
← S 65.610683°
E108.715210°		 ← 252.22 m → S 65.610683°
E108.720703°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
S 65.612952°
E108.715210°		 ← 252.19 m →
63 613 m²		 S 65.612952°
E108.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801994323730469 y=0.743827819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801994323730469 × 216)
    floor (0.801994323730469 × 65536)
    floor (52559.5)     		tx = 52559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743827819824219 × 216)
    floor (0.743827819824219 × 65536)
    floor (48747.5)     		ty = 48747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52559 / 48747 ti = "16/52559/48747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52559/48747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52559 ÷ 216
    52559 ÷ 65536     		x = 0.801986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48747 ÷ 216
    48747 ÷ 65536     		y = 0.743820190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801986694335938 × 2 - 1) × π
    0.603973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89743836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743820190429688 × 2 - 1) × π
    -0.487640380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53196743805775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89743836} λ = 1.89743836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53196743805775))-π/2
    2×atan(0.216110065613048)-π/2
    2×0.212836937603359-π/2
    0.425673875206718-1.57079632675     		φ = -1.14512245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89743836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14512245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.610683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52559 KachelY 48747 1.89743836 -1.14512245 108.715210 -65.610683
    Oben rechts KachelX + 1 52560 KachelY 48747 1.89753423 -1.14512245 108.720703 -65.610683
    Unten links KachelX 52559 KachelY + 1 48748 1.89743836 -1.14516204 108.715210 -65.612952
    Unten rechts KachelX + 1 52560 KachelY + 1 48748 1.89753423 -1.14516204 108.720703 -65.612952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14512245--1.14516204) × R
    3.95900000000893e-05 × 6371000     		dl = 252.227890000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14512245--1.14516204) × R
    3.95900000000893e-05 × 6371000     		dr = 252.227890000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89743836-1.89753423) × cos(-1.14512245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412934615938871 × 6371000     		do = 252.215413225104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89743836-1.89753423) × cos(-1.14516204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412898558600238 × 6371000     		du = 252.193389843648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14512245)-sin(-1.14516204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412934615938871-0.412898558600238)×R²
    abs(1.89753423-1.89743836)×3.60573386335994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60573386335994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60573386335994e-05×40589641000000     		ar = 63612.9840562134m²