Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52537 / 21742
↖ ↑ ↗
← N 51.679368°
E108.594361°		 ← 378.73 m → N 51.679368°
E108.599853°		 →
↑
378.76 m
↓
↑
378.76 m
↓
N 51.675961°
E108.594361°		 ← 378.75 m →
143 450 m²		 N 51.675961°
E108.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801658630371094 y=0.331764221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801658630371094 × 216)
    floor (0.801658630371094 × 65536)
    floor (52537.5)     		tx = 52537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331764221191406 × 216)
    floor (0.331764221191406 × 65536)
    floor (21742.5)     		ty = 21742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52537 / 21742 ti = "16/52537/21742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52537/21742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52537 ÷ 216
    52537 ÷ 65536     		x = 0.801651000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21742 ÷ 216
    21742 ÷ 65536     		y = 0.331756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801651000976562 × 2 - 1) × π
    0.603302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89532914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331756591796875 × 2 - 1) × π
    0.33648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05710451042148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89532914} λ = 1.89532914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05710451042148))-π/2
    2×atan(2.87802561994427)-π/2
    2×1.2363857256489-π/2
    2.47277145129781-1.57079632675     		φ = 0.90197512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89532914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.594361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90197512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.679368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52537 KachelY 21742 1.89532914 0.90197512 108.594361 51.679368
    Oben rechts KachelX + 1 52538 KachelY 21742 1.89542501 0.90197512 108.599853 51.679368
    Unten links KachelX 52537 KachelY + 1 21743 1.89532914 0.90191567 108.594361 51.675961
    Unten rechts KachelX + 1 52538 KachelY + 1 21743 1.89542501 0.90191567 108.599853 51.675961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90197512-0.90191567) × R
    5.94500000000719e-05 × 6371000     		dl = 378.755950000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90197512-0.90191567) × R
    5.94500000000719e-05 × 6371000     		dr = 378.755950000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89532914-1.89542501) × cos(0.90197512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620061592150238 × 6371000     		do = 378.726037132085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89532914-1.89542501) × cos(0.90191567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620108232738355 × 6371000     		du = 378.754524632893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90197512)-sin(0.90191567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620061592150238-0.620108232738355)×R²
    abs(1.89542501-1.89532914)×4.66405881170973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66405881170973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66405881170973e-05×40589641000000     		ar = 143450.134931261m²