Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52536 / 21743
↖ ↑ ↗
← N 51.675961°
E108.588867°		 ← 378.79 m → N 51.675961°
E108.594361°		 →
↑
378.76 m
↓
↑
378.76 m
↓
N 51.672555°
E108.588867°		 ← 378.82 m →
143 476 m²		 N 51.672555°
E108.594361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801643371582031 y=0.331779479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801643371582031 × 216)
    floor (0.801643371582031 × 65536)
    floor (52536.5)     		tx = 52536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331779479980469 × 216)
    floor (0.331779479980469 × 65536)
    floor (21743.5)     		ty = 21743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52536 / 21743 ti = "16/52536/21743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52536/21743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52536 ÷ 216
    52536 ÷ 65536     		x = 0.8016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21743 ÷ 216
    21743 ÷ 65536     		y = 0.331771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8016357421875 × 2 - 1) × π
    0.603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89523326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331771850585938 × 2 - 1) × π
    0.336456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05700863662224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89523326} λ = 1.89523326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05700863662224))-π/2
    2×atan(2.87774970592045)-π/2
    2×1.23635600070088-π/2
    2.47271200140175-1.57079632675     		φ = 0.90191567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89523326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90191567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.675961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52536 KachelY 21743 1.89523326 0.90191567 108.588867 51.675961
    Oben rechts KachelX + 1 52537 KachelY 21743 1.89532914 0.90191567 108.594361 51.675961
    Unten links KachelX 52536 KachelY + 1 21744 1.89523326 0.90185622 108.588867 51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 52537 KachelY + 1 21744 1.89532914 0.90185622 108.594361 51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90191567-0.90185622) × R
    5.94499999999609e-05 × 6371000     		dl = 378.755949999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90191567-0.90185622) × R
    5.94499999999609e-05 × 6371000     		dr = 378.755949999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89523326-1.89532914) × cos(0.90191567) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.620108232738355 × 6371000     		do = 378.794031729038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89523326-1.89532914) × cos(0.90185622) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 378.822520862544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90191567)-sin(0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620108232738355-0.620154871134822)×R²
    abs(1.89532914-1.89523326)×4.66383964670136e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.66383964670136e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.66383964670136e-05×40589641000000     		ar = 143475.888598258m²