Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52536 / 102040
↖ ↑ ↗
← S 70.281705°
W 35.705567°		 ← 103.05 m → S 70.281705°
W 35.702820°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.282631°
W 35.705567°		 ← 103.04 m →
10 616 m²		 S 70.282631°
W 35.702820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400821685791016 y=0.778507232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400821685791016 × 217)
    floor (0.400821685791016 × 131072)
    floor (52536.5)     		tx = 52536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778507232666016 × 217)
    floor (0.778507232666016 × 131072)
    floor (102040.5)     		ty = 102040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52536 / 102040 ti = "17/52536/102040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52536/102040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52536 ÷ 217
    52536 ÷ 131072     		x = 0.40081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102040 ÷ 217
    102040 ÷ 131072     		y = 0.77850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62317970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62317970} λ = -0.62317970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74988858373053))-π/2
    2×atan(0.173793305773574)-π/2
    2×0.172074589704937-π/2
    0.344149179409873-1.57079632675     		φ = -1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62317970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.705567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52536 KachelY 102040 -0.62317970 -1.22664715 -35.705567 -70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 52537 KachelY 102040 -0.62313176 -1.22664715 -35.702820 -70.281705
    Unten links KachelX 52536 KachelY + 1 102041 -0.62317970 -1.22666332 -35.705567 -70.282631
    Unten rechts KachelX + 1 52537 KachelY + 1 102041 -0.62313176 -1.22666332 -35.702820 -70.282631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22664715--1.22666332) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22664715--1.22666332) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62317970--0.62313176) × cos(-1.22664715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 103.049382076851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62317970--0.62313176) × cos(-1.22666332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337380644219748 × 6371000     		du = 103.044732922426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22664715)-sin(-1.22666332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337380644219748)×R²
    abs(-0.62313176--0.62317970)×1.52218815147598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52218815147598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52218815147598e-05×40589641000000     		ar = 10615.8120298675m²