Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52531 / 21746
↖ ↑ ↗
← N 51.665742°
E108.561401°		 ← 378.88 m → N 51.665742°
E108.566895°		 →
↑
378.88 m
↓
↑
378.88 m
↓
N 51.662334°
E108.561401°		 ← 378.91 m →
143 557 m²		 N 51.662334°
E108.566895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801567077636719 y=0.331825256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801567077636719 × 216)
    floor (0.801567077636719 × 65536)
    floor (52531.5)     		tx = 52531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331825256347656 × 216)
    floor (0.331825256347656 × 65536)
    floor (21746.5)     		ty = 21746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52531 / 21746 ti = "16/52531/21746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52531/21746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52531 ÷ 216
    52531 ÷ 65536     		x = 0.801559448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21746 ÷ 216
    21746 ÷ 65536     		y = 0.331817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801559448242188 × 2 - 1) × π
    0.603118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89475389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331817626953125 × 2 - 1) × π
    0.33636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05672101522452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89475389} λ = 1.89475389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05672101522452))-π/2
    2×atan(2.87692212254879)-π/2
    2×1.23626681244155-π/2
    2.47253362488309-1.57079632675     		φ = 0.90173730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89475389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.561401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90173730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.665742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52531 KachelY 21746 1.89475389 0.90173730 108.561401 51.665742
    Oben rechts KachelX + 1 52532 KachelY 21746 1.89484977 0.90173730 108.566895 51.665742
    Unten links KachelX 52531 KachelY + 1 21747 1.89475389 0.90167783 108.561401 51.662334
    Unten rechts KachelX + 1 52532 KachelY + 1 21747 1.89484977 0.90167783 108.566895 51.662334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90173730-0.90167783) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dl = 378.883369999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90173730-0.90167783) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dr = 378.883369999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89475389-1.89484977) × cos(0.90173730) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		do = 378.879504695067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89475389-1.89484977) × cos(0.90167783) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.620294804547425 × 6371000     		du = 378.907999393857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90173730)-sin(0.90167783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62024815704026-0.620294804547425)×R²
    abs(1.89484977-1.89475389)×4.66475071656536e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66475071656536e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66475071656536e-05×40589641000000     		ar = 143556.541688787m²