Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52530 / 21750
↖ ↑ ↗
← N 51.652111°
E108.555908°		 ← 378.95 m → N 51.652111°
E108.561401°		 →
↑
379.01 m
↓
↑
379.01 m
↓
N 51.648702°
E108.555908°		 ← 378.98 m →
143 633 m²		 N 51.648702°
E108.561401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801551818847656 y=0.331886291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801551818847656 × 216)
    floor (0.801551818847656 × 65536)
    floor (52530.5)     		tx = 52530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331886291503906 × 216)
    floor (0.331886291503906 × 65536)
    floor (21750.5)     		ty = 21750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52530 / 21750 ti = "16/52530/21750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52530/21750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52530 ÷ 216
    52530 ÷ 65536     		x = 0.801544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21750 ÷ 216
    21750 ÷ 65536     		y = 0.331878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801544189453125 × 2 - 1) × π
    0.60308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89465802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331878662109375 × 2 - 1) × π
    0.33624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05633752002756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89465802} λ = 1.89465802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05633752002756))-π/2
    2×atan(2.87581904825813)-π/2
    2×1.23614786345784-π/2
    2.47229572691567-1.57079632675     		φ = 0.90149940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89465802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90149940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.652111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52530 KachelY 21750 1.89465802 0.90149940 108.555908 51.652111
    Oben rechts KachelX + 1 52531 KachelY 21750 1.89475389 0.90149940 108.561401 51.652111
    Unten links KachelX 52530 KachelY + 1 21751 1.89465802 0.90143991 108.555908 51.648702
    Unten rechts KachelX + 1 52531 KachelY + 1 21751 1.89475389 0.90143991 108.561401 51.648702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90149940-0.90143991) × R
    5.94899999999399e-05 × 6371000     		dl = 379.010789999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90149940-0.90143991) × R
    5.94899999999399e-05 × 6371000     		dr = 379.010789999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89465802-1.89475389) × cos(0.90149940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620434749590716 × 6371000     		do = 378.953957133013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89465802-1.89475389) × cos(0.90143991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620481404005438 × 6371000     		du = 378.982453078942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90149940)-sin(0.90143991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620434749590716-0.620481404005438)×R²
    abs(1.89475389-1.89465802)×4.66544147220693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66544147220693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66544147220693e-05×40589641000000     		ar = 143633.038844314m²