Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52530 / 21745
↖ ↑ ↗
← N 51.669148°
E108.555908°		 ← 378.81 m → N 51.669148°
E108.561401°		 →
↑
378.82 m
↓
↑
378.82 m
↓
N 51.665742°
E108.555908°		 ← 378.84 m →
143 507 m²		 N 51.665742°
E108.561401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801551818847656 y=0.331809997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801551818847656 × 216)
    floor (0.801551818847656 × 65536)
    floor (52530.5)     		tx = 52530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331809997558594 × 216)
    floor (0.331809997558594 × 65536)
    floor (21745.5)     		ty = 21745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52530 / 21745 ti = "16/52530/21745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52530/21745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52530 ÷ 216
    52530 ÷ 65536     		x = 0.801544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21745 ÷ 216
    21745 ÷ 65536     		y = 0.331802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801544189453125 × 2 - 1) × π
    0.60308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89465802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331802368164062 × 2 - 1) × π
    0.336395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05681688902376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89465802} λ = 1.89465802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05681688902376))-π/2
    2×atan(2.87719795722525)-π/2
    2×1.23629654409726-π/2
    2.47259308819452-1.57079632675     		φ = 0.90179676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89465802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90179676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.669148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52530 KachelY 21745 1.89465802 0.90179676 108.555908 51.669148
    Oben rechts KachelX + 1 52531 KachelY 21745 1.89475389 0.90179676 108.561401 51.669148
    Unten links KachelX 52530 KachelY + 1 21746 1.89465802 0.90173730 108.555908 51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 52531 KachelY + 1 21746 1.89475389 0.90173730 108.561401 51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90179676-0.90173730) × R
    5.94600000000112e-05 × 6371000     		dl = 378.819660000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90179676-0.90173730) × R
    5.94600000000112e-05 × 6371000     		dr = 378.819660000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89465802-1.89475389) × cos(0.90179676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6202015151839 × 6371000     		do = 378.811500409787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89465802-1.89475389) × cos(0.90173730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 378.839988685222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90179676)-sin(0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6202015151839-0.62024815704026)×R²
    abs(1.89475389-1.89465802)×4.66418563601634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66418563601634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66418563601634e-05×40589641000000     		ar = 143506.639791084m²