Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52529 / 48882
↖ ↑ ↗
← S 65.915107°
E108.550415°		 ← 249.26 m → S 65.915107°
E108.555908°		 →
↑
249.23 m
↓
↑
249.23 m
↓
S 65.917349°
E108.550415°		 ← 249.23 m →
62 120 m²		 S 65.917349°
E108.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801536560058594 y=0.745887756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801536560058594 × 216)
    floor (0.801536560058594 × 65536)
    floor (52529.5)     		tx = 52529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745887756347656 × 216)
    floor (0.745887756347656 × 65536)
    floor (48882.5)     		ty = 48882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52529 / 48882 ti = "16/52529/48882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52529/48882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52529 ÷ 216
    52529 ÷ 65536     		x = 0.801528930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48882 ÷ 216
    48882 ÷ 65536     		y = 0.745880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801528930664062 × 2 - 1) × π
    0.603057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89456215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.49176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54491040095517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89456215} λ = 1.89456215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54491040095517))-π/2
    2×atan(0.213330984619086)-π/2
    2×0.210180340186405-π/2
    0.420360680372809-1.57079632675     		φ = -1.15043565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89456215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.550415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15043565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.915107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52529 KachelY 48882 1.89456215 -1.15043565 108.550415 -65.915107
    Oben rechts KachelX + 1 52530 KachelY 48882 1.89465802 -1.15043565 108.555908 -65.915107
    Unten links KachelX 52529 KachelY + 1 48883 1.89456215 -1.15047477 108.550415 -65.917349
    Unten rechts KachelX + 1 52530 KachelY + 1 48883 1.89465802 -1.15047477 108.555908 -65.917349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15043565--1.15047477) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dl = 249.233520000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15043565--1.15047477) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dr = 249.233520000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89456215-1.89465802) × cos(-1.15043565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408089756522558 × 6371000     		do = 249.25623234625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89456215-1.89465802) × cos(-1.15047477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408054041926648 × 6371000     		du = 249.234418307858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15043565)-sin(-1.15047477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408089756522558-0.408054041926648)×R²
    abs(1.89465802-1.89456215)×3.57145959098415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57145959098415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57145959098415e-05×40589641000000     		ar = 62120.2897828962m²