Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52529 / 21746
↖ ↑ ↗
← N 51.665742°
E108.550415°		 ← 378.84 m → N 51.665742°
E108.555908°		 →
↑
378.88 m
↓
↑
378.88 m
↓
N 51.662334°
E108.550415°		 ← 378.87 m →
143 542 m²		 N 51.662334°
E108.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801536560058594 y=0.331825256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801536560058594 × 216)
    floor (0.801536560058594 × 65536)
    floor (52529.5)     		tx = 52529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331825256347656 × 216)
    floor (0.331825256347656 × 65536)
    floor (21746.5)     		ty = 21746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52529 / 21746 ti = "16/52529/21746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52529/21746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52529 ÷ 216
    52529 ÷ 65536     		x = 0.801528930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21746 ÷ 216
    21746 ÷ 65536     		y = 0.331817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801528930664062 × 2 - 1) × π
    0.603057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89456215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331817626953125 × 2 - 1) × π
    0.33636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05672101522452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89456215} λ = 1.89456215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05672101522452))-π/2
    2×atan(2.87692212254879)-π/2
    2×1.23626681244155-π/2
    2.47253362488309-1.57079632675     		φ = 0.90173730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89456215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.550415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90173730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.665742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52529 KachelY 21746 1.89456215 0.90173730 108.550415 51.665742
    Oben rechts KachelX + 1 52530 KachelY 21746 1.89465802 0.90173730 108.555908 51.665742
    Unten links KachelX 52529 KachelY + 1 21747 1.89456215 0.90167783 108.550415 51.662334
    Unten rechts KachelX + 1 52530 KachelY + 1 21747 1.89465802 0.90167783 108.555908 51.662334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90173730-0.90167783) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dl = 378.883369999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90173730-0.90167783) × R
    5.94699999999504e-05 × 6371000     		dr = 378.883369999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89456215-1.89465802) × cos(0.90173730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62024815704026 × 6371000     		do = 378.839988685222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89456215-1.89465802) × cos(0.90167783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620294804547425 × 6371000     		du = 378.8684804121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90173730)-sin(0.90167783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62024815704026-0.620294804547425)×R²
    abs(1.89465802-1.89456215)×4.66475071656536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66475071656536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66475071656536e-05×40589641000000     		ar = 143541.569166799m²