Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52515 / 21749
↖ ↑ ↗
← N 51.655519°
E108.473511°		 ← 378.96 m → N 51.655519°
E108.479004°		 →
↑
378.95 m
↓
↑
378.95 m
↓
N 51.652111°
E108.473511°		 ← 378.99 m →
143 613 m²		 N 51.652111°
E108.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801322937011719 y=0.331871032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801322937011719 × 216)
    floor (0.801322937011719 × 65536)
    floor (52515.5)     		tx = 52515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331871032714844 × 216)
    floor (0.331871032714844 × 65536)
    floor (21749.5)     		ty = 21749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52515 / 21749 ti = "16/52515/21749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52515/21749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52515 ÷ 216
    52515 ÷ 65536     		x = 0.801315307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21749 ÷ 216
    21749 ÷ 65536     		y = 0.331863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801315307617188 × 2 - 1) × π
    0.602630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89321991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331863403320312 × 2 - 1) × π
    0.336273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0564333938268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89321991} λ = 1.89321991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0564333938268))-π/2
    2×atan(2.87609477717359)-π/2
    2×1.23617760405802-π/2
    2.47235520811603-1.57079632675     		φ = 0.90155888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89321991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.473511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90155888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.655519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52515 KachelY 21749 1.89321991 0.90155888 108.473511 51.655519
    Oben rechts KachelX + 1 52516 KachelY 21749 1.89331579 0.90155888 108.479004 51.655519
    Unten links KachelX 52515 KachelY + 1 21750 1.89321991 0.90149940 108.473511 51.652111
    Unten rechts KachelX + 1 52516 KachelY + 1 21750 1.89331579 0.90149940 108.479004 51.652111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90155888-0.90149940) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dl = 378.947080000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90155888-0.90149940) × R
    5.94800000000006e-05 × 6371000     		dr = 378.947080000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89321991-1.89331579) × cos(0.90155888) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.620388100823187 × 6371000     		do = 378.964989561985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89321991-1.89331579) × cos(0.90149940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.620434749590716 × 6371000     		du = 378.993485030669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90155888)-sin(0.90149940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620388100823187-0.620434749590716)×R²
    abs(1.89331579-1.89321991)×4.66487675282456e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66487675282456e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66487675282456e-05×40589641000000     		ar = 143613.075396198m²