Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52513 / 21791
↖ ↑ ↗
← N 51.512161°
E108.462525°		 ← 380.12 m → N 51.512161°
E108.468018°		 →
↑
380.16 m
↓
↑
380.16 m
↓
N 51.508742°
E108.462525°		 ← 380.15 m →
144 512 m²		 N 51.508742°
E108.468018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801292419433594 y=0.332511901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801292419433594 × 216)
    floor (0.801292419433594 × 65536)
    floor (52513.5)     		tx = 52513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332511901855469 × 216)
    floor (0.332511901855469 × 65536)
    floor (21791.5)     		ty = 21791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52513 / 21791 ti = "16/52513/21791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52513/21791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52513 ÷ 216
    52513 ÷ 65536     		x = 0.801284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21791 ÷ 216
    21791 ÷ 65536     		y = 0.332504272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801284790039062 × 2 - 1) × π
    0.602569580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89302817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332504272460938 × 2 - 1) × π
    0.334991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05240669425871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89302817} λ = 1.89302817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05240669425871))-π/2
    2×atan(2.86453689325659)-π/2
    2×1.23492657269958-π/2
    2.46985314539915-1.57079632675     		φ = 0.89905682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89302817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.462525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89905682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.512161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52513 KachelY 21791 1.89302817 0.89905682 108.462525 51.512161
    Oben rechts KachelX + 1 52514 KachelY 21791 1.89312404 0.89905682 108.468018 51.512161
    Unten links KachelX 52513 KachelY + 1 21792 1.89302817 0.89899715 108.462525 51.508742
    Unten rechts KachelX + 1 52514 KachelY + 1 21792 1.89312404 0.89899715 108.468018 51.508742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89905682-0.89899715) × R
    5.96699999999561e-05 × 6371000     		dl = 380.157569999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89905682-0.89899715) × R
    5.96699999999561e-05 × 6371000     		dr = 380.157569999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89302817-1.89312404) × cos(0.89905682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		do = 380.122858553479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89302817-1.89312404) × cos(0.89899715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62239521495124 × 6371000     		du = 380.15138539873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89905682)-sin(0.89899715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622348509947223-0.62239521495124)×R²
    abs(1.89312404-1.89302817)×4.67050040163786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67050040163786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67050040163786e-05×40589641000000     		ar = 144512.004599778m²