Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52512 / 49952
↖ ↑ ↗
← S 68.204212°
E108.457031°		 ← 226.81 m → S 68.204212°
E108.462525°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 68.206252°
E108.457031°		 ← 226.79 m →
51 425 m²		 S 68.206252°
E108.462525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801277160644531 y=0.762214660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801277160644531 × 216)
    floor (0.801277160644531 × 65536)
    floor (52512.5)     		tx = 52512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762214660644531 × 216)
    floor (0.762214660644531 × 65536)
    floor (49952.5)     		ty = 49952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52512 / 49952 ti = "16/52512/49952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52512/49952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52512 ÷ 216
    52512 ÷ 65536     		x = 0.80126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49952 ÷ 216
    49952 ÷ 65536     		y = 0.76220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80126953125 × 2 - 1) × π
    0.6025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89293229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89293229} λ = 1.89293229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64749536614209))-π/2
    2×atan(0.192531526210382)-π/2
    2×0.190204130194325-π/2
    0.380408260388649-1.57079632675     		φ = -1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89293229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52512 KachelY 49952 1.89293229 -1.19038807 108.457031 -68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 52513 KachelY 49952 1.89302817 -1.19038807 108.462525 -68.204212
    Unten links KachelX 52512 KachelY + 1 49953 1.89293229 -1.19042366 108.457031 -68.206252
    Unten rechts KachelX + 1 52513 KachelY + 1 49953 1.89302817 -1.19042366 108.462525 -68.206252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19038807--1.19042366) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dl = 226.743889999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19038807--1.19042366) × R
    3.55899999999743e-05 × 6371000     		dr = 226.743889999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89293229-1.89302817) × cos(-1.19038807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 226.808893164191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89293229-1.89302817) × cos(-1.19042366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371266526121429 × 6371000     		du = 226.788706955585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19038807)-sin(-1.19042366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.371266526121429)×R²
    abs(1.89302817-1.89293229)×3.30460173496583e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30460173496583e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30460173496583e-05×40589641000000     		ar = 51425.2421781775m²