Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52512 / 21790
↖ ↑ ↗
← N 51.515580°
E108.457031°		 ← 380.13 m → N 51.515580°
E108.462525°		 →
↑
380.09 m
↓
↑
380.09 m
↓
N 51.512161°
E108.457031°		 ← 380.16 m →
144 492 m²		 N 51.512161°
E108.462525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801277160644531 y=0.332496643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801277160644531 × 216)
    floor (0.801277160644531 × 65536)
    floor (52512.5)     		tx = 52512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332496643066406 × 216)
    floor (0.332496643066406 × 65536)
    floor (21790.5)     		ty = 21790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52512 / 21790 ti = "16/52512/21790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52512/21790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52512 ÷ 216
    52512 ÷ 65536     		x = 0.80126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21790 ÷ 216
    21790 ÷ 65536     		y = 0.332489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80126953125 × 2 - 1) × π
    0.6025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89293229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332489013671875 × 2 - 1) × π
    0.33502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05250256805795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89293229} λ = 1.89293229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05250256805795))-π/2
    2×atan(2.86481154045713)-π/2
    2×1.23495640503827-π/2
    2.46991281007655-1.57079632675     		φ = 0.89911648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89293229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89911648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.515580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52512 KachelY 21790 1.89293229 0.89911648 108.457031 51.515580
    Oben rechts KachelX + 1 52513 KachelY 21790 1.89302817 0.89911648 108.462525 51.515580
    Unten links KachelX 52512 KachelY + 1 21791 1.89293229 0.89905682 108.457031 51.512161
    Unten rechts KachelX + 1 52513 KachelY + 1 21791 1.89302817 0.89905682 108.462525 51.512161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89911648-0.89905682) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dl = 380.093860000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89911648-0.89905682) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dr = 380.093860000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89293229-1.89302817) × cos(0.89911648) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622301810555103 × 6371000     		do = 380.133981984015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89293229-1.89302817) × cos(0.89905682) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		du = 380.162508376807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89911648)-sin(0.89905682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622301810555103-0.622348509947223)×R²
    abs(1.89302817-1.89293229)×4.66993921197645e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66993921197645e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66993921197645e-05×40589641000000     		ar = 144492.013925805m²