Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52496 / 49924
↖ ↑ ↗
← S 68.147032°
E108.369141°		 ← 227.37 m → S 68.147032°
E108.374634°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 68.149077°
E108.369141°		 ← 227.35 m →
51 698 m²		 S 68.149077°
E108.374634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801033020019531 y=0.761787414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801033020019531 × 216)
    floor (0.801033020019531 × 65536)
    floor (52496.5)     		tx = 52496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761787414550781 × 216)
    floor (0.761787414550781 × 65536)
    floor (49924.5)     		ty = 49924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52496 / 49924 ti = "16/52496/49924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52496/49924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52496 ÷ 216
    52496 ÷ 65536     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49924 ÷ 216
    49924 ÷ 65536     		y = 0.76177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64481089976337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64481089976337))-π/2
    2×atan(0.193049064966235)-π/2
    2×0.190703122351212-π/2
    0.381406244702424-1.57079632675     		φ = -1.18939008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18939008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.147032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52496 KachelY 49924 1.89139831 -1.18939008 108.369141 -68.147032
    Oben rechts KachelX + 1 52497 KachelY 49924 1.89149419 -1.18939008 108.374634 -68.147032
    Unten links KachelX 52496 KachelY + 1 49925 1.89139831 -1.18942577 108.369141 -68.149077
    Unten rechts KachelX + 1 52497 KachelY + 1 49925 1.89149419 -1.18942577 108.374634 -68.149077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18939008--1.18942577) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18939008--1.18942577) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89149419) × cos(-1.18939008) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37222603389675 × 6371000     		do = 227.374823700211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89149419) × cos(-1.18942577) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372192908267721 × 6371000     		du = 227.354588860692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18939008)-sin(-1.18942577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37222603389675-0.372192908267721)×R²
    abs(1.89149419-1.89139831)×3.31256290292958e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31256290292958e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31256290292958e-05×40589641000000     		ar = 51698.4120109184m²