Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52496 / 48912
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E108.369141°		 ← 248.63 m → S 65.982270°
E108.374634°		 →
↑
248.60 m
↓
↑
248.60 m
↓
S 65.984506°
E108.369141°		 ← 248.61 m →
61 805 m²		 S 65.984506°
E108.374634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801033020019531 y=0.746345520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801033020019531 × 216)
    floor (0.801033020019531 × 65536)
    floor (52496.5)     		tx = 52496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746345520019531 × 216)
    floor (0.746345520019531 × 65536)
    floor (48912.5)     		ty = 48912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52496 / 48912 ti = "16/52496/48912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52496/48912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52496 ÷ 216
    52496 ÷ 65536     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48912 ÷ 216
    48912 ÷ 65536     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52496 KachelY 48912 1.89139831 -1.15160786 108.369141 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 52497 KachelY 48912 1.89149419 -1.15160786 108.374634 -65.982270
    Unten links KachelX 52496 KachelY + 1 48913 1.89139831 -1.15164688 108.369141 -65.984506
    Unten rechts KachelX + 1 52497 KachelY + 1 48913 1.89149419 -1.15164688 108.374634 -65.984506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15164688) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dl = 248.596420000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15164688) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dr = 248.596420000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89149419) × cos(-1.15160786) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 248.628352100875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89149419) × cos(-1.15164688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406983674933228 × 6371000     		du = 248.606580168638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15164688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406983674933228)×R²
    abs(1.89149419-1.89139831)×3.56419407169239e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56419407169239e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56419407169239e-05×40589641000000     		ar = 61805.4120383142m²