Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52495 / 49923
↖ ↑ ↗
← S 68.144987°
E108.363648°		 ← 227.37 m → S 68.144987°
E108.369141°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 68.147032°
E108.363648°		 ← 227.35 m →
51 698 m²		 S 68.147032°
E108.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801017761230469 y=0.761772155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801017761230469 × 216)
    floor (0.801017761230469 × 65536)
    floor (52495.5)     		tx = 52495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761772155761719 × 216)
    floor (0.761772155761719 × 65536)
    floor (49923.5)     		ty = 49923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52495 / 49923 ti = "16/52495/49923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52495/49923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52495 ÷ 216
    52495 ÷ 65536     		x = 0.801010131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49923 ÷ 216
    49923 ÷ 65536     		y = 0.761764526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801010131835938 × 2 - 1) × π
    0.602020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89130244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761764526367188 × 2 - 1) × π
    -0.523529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64471502596413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89130244} λ = 1.89130244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64471502596413))-π/2
    2×atan(0.193067574200794)-π/2
    2×0.190720966507053-π/2
    0.381441933014106-1.57079632675     		φ = -1.18935439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89130244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.363648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18935439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.144987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52495 KachelY 49923 1.89130244 -1.18935439 108.363648 -68.144987
    Oben rechts KachelX + 1 52496 KachelY 49923 1.89139831 -1.18935439 108.369141 -68.144987
    Unten links KachelX 52495 KachelY + 1 49924 1.89130244 -1.18939008 108.363648 -68.147032
    Unten rechts KachelX + 1 52496 KachelY + 1 49924 1.89139831 -1.18939008 108.369141 -68.147032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18935439--1.18939008) × R
    3.56899999998106e-05 × 6371000     		dl = 227.380989998793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18935439--1.18939008) × R
    3.56899999998106e-05 × 6371000     		dr = 227.380989998793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89130244-1.89139831) × cos(-1.18935439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372259159051646 × 6371000     		do = 227.371341619225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89130244-1.89139831) × cos(-1.18939008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37222603389675 × 6371000     		du = 227.351109179735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18935439)-sin(-1.18939008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372259159051646-0.37222603389675)×R²
    abs(1.89139831-1.89130244)×3.31251548965072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31251548965072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31251548965072e-05×40589641000000     		ar = 51697.6205241356m²