Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52491 / 49947
↖ ↑ ↗
← S 68.194012°
E108.341675°		 ← 226.91 m → S 68.194012°
E108.347168°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
S 68.196052°
E108.341675°		 ← 226.89 m →
51 477 m²		 S 68.196052°
E108.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800956726074219 y=0.762138366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800956726074219 × 216)
    floor (0.800956726074219 × 65536)
    floor (52491.5)     		tx = 52491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762138366699219 × 216)
    floor (0.762138366699219 × 65536)
    floor (49947.5)     		ty = 49947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52491 / 49947 ti = "16/52491/49947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52491/49947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52491 ÷ 216
    52491 ÷ 65536     		x = 0.800949096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49947 ÷ 216
    49947 ÷ 65536     		y = 0.762130737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800949096679688 × 2 - 1) × π
    0.601898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89091894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762130737304688 × 2 - 1) × π
    -0.524261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64701599714589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89091894} λ = 1.89091894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64701599714589))-π/2
    2×atan(0.192623841979729)-π/2
    2×0.190293144754986-π/2
    0.380586289509972-1.57079632675     		φ = -1.19021004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89091894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19021004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.194012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52491 KachelY 49947 1.89091894 -1.19021004 108.341675 -68.194012
    Oben rechts KachelX + 1 52492 KachelY 49947 1.89101482 -1.19021004 108.347168 -68.194012
    Unten links KachelX 52491 KachelY + 1 49948 1.89091894 -1.19024565 108.341675 -68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 52492 KachelY + 1 49948 1.89101482 -1.19024565 108.347168 -68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19021004--1.19024565) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dl = 226.871310000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19021004--1.19024565) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dr = 226.871310000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89091894-1.89101482) × cos(-1.19021004) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.371464869445863 × 6371000     		do = 226.909865269389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89091894-1.89101482) × cos(-1.19024565) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 226.889669155094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19021004)-sin(-1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371464869445863-0.371431807212315)×R²
    abs(1.89101482-1.89091894)×3.3062233548764e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.3062233548764e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.3062233548764e-05×40589641000000     		ar = 51477.0474318808m²