Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52491 / 49898
↖ ↑ ↗
← S 68.093808°
E108.341675°		 ← 227.90 m → S 68.093808°
E108.347168°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 68.095857°
E108.341675°		 ← 227.88 m →
51 934 m²		 S 68.095857°
E108.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800956726074219 y=0.761390686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800956726074219 × 216)
    floor (0.800956726074219 × 65536)
    floor (52491.5)     		tx = 52491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761390686035156 × 216)
    floor (0.761390686035156 × 65536)
    floor (49898.5)     		ty = 49898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52491 / 49898 ti = "16/52491/49898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52491/49898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52491 ÷ 216
    52491 ÷ 65536     		x = 0.800949096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49898 ÷ 216
    49898 ÷ 65536     		y = 0.761383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800949096679688 × 2 - 1) × π
    0.601898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89091894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.52276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64231818098312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89091894} λ = 1.89091894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64231818098312))-π/2
    2×atan(0.193530882264011)-π/2
    2×0.191167586779342-π/2
    0.382335173558684-1.57079632675     		φ = -1.18846115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89091894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18846115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.093808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52491 KachelY 49898 1.89091894 -1.18846115 108.341675 -68.093808
    Oben rechts KachelX + 1 52492 KachelY 49898 1.89101482 -1.18846115 108.347168 -68.093808
    Unten links KachelX 52491 KachelY + 1 49899 1.89091894 -1.18849692 108.341675 -68.095857
    Unten rechts KachelX + 1 52492 KachelY + 1 49899 1.89101482 -1.18849692 108.347168 -68.095857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18846115--1.18849692) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18846115--1.18849692) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89091894-1.89101482) × cos(-1.18846115) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.373088052225716 × 6371000     		do = 227.901388872774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89091894-1.89101482) × cos(-1.18849692) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.373054864726286 × 6371000     		du = 227.88111623963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18846115)-sin(-1.18849692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373088052225716-0.373054864726286)×R²
    abs(1.89101482-1.89091894)×3.31874994293213e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.31874994293213e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.31874994293213e-05×40589641000000     		ar = 51934.2902379732m²