Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52490 / 49902
↖ ↑ ↗
← S 68.102005°
E108.336182°		 ← 227.80 m → S 68.102005°
E108.341675°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 68.104053°
E108.336182°		 ← 227.78 m →
51 881 m²		 S 68.104053°
E108.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800941467285156 y=0.761451721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800941467285156 × 216)
    floor (0.800941467285156 × 65536)
    floor (52490.5)     		tx = 52490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761451721191406 × 216)
    floor (0.761451721191406 × 65536)
    floor (49902.5)     		ty = 49902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52490 / 49902 ti = "16/52490/49902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52490/49902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52490 ÷ 216
    52490 ÷ 65536     		x = 0.800933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49902 ÷ 216
    49902 ÷ 65536     		y = 0.761444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800933837890625 × 2 - 1) × π
    0.60186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89082307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.52288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64270167618008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89082307} λ = 1.89082307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64270167618008))-π/2
    2×atan(0.193456678329535)-π/2
    2×0.191096060767547-π/2
    0.382192121535093-1.57079632675     		φ = -1.18860421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89082307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18860421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.102005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52490 KachelY 49902 1.89082307 -1.18860421 108.336182 -68.102005
    Oben rechts KachelX + 1 52491 KachelY 49902 1.89091894 -1.18860421 108.341675 -68.102005
    Unten links KachelX 52490 KachelY + 1 49903 1.89082307 -1.18863996 108.336182 -68.104053
    Unten rechts KachelX + 1 52491 KachelY + 1 49903 1.89091894 -1.18863996 108.341675 -68.104053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18860421--1.18863996) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dl = 227.763249999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18860421--1.18863996) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dr = 227.763249999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89082307-1.89091894) × cos(-1.18860421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372955317921228 × 6371000     		do = 227.796546942743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89082307-1.89091894) × cos(-1.18863996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372922147070289 × 6371000     		du = 227.776286592669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18860421)-sin(-1.18863996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372955317921228-0.372922147070289)×R²
    abs(1.89091894-1.89082307)×3.31708509390682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31708509390682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31708509390682e-05×40589641000000     		ar = 51881.3745940323m²