Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52489 / 49899
↖ ↑ ↗
← S 68.095857°
E108.330688°		 ← 227.88 m → S 68.095857°
E108.336182°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 68.097907°
E108.330688°		 ← 227.86 m →
51 930 m²		 S 68.097907°
E108.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800926208496094 y=0.761405944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800926208496094 × 216)
    floor (0.800926208496094 × 65536)
    floor (52489.5)     		tx = 52489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761405944824219 × 216)
    floor (0.761405944824219 × 65536)
    floor (49899.5)     		ty = 49899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52489 / 49899 ti = "16/52489/49899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52489/49899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52489 ÷ 216
    52489 ÷ 65536     		x = 0.800918579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49899 ÷ 216
    49899 ÷ 65536     		y = 0.761398315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800918579101562 × 2 - 1) × π
    0.601837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89072719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761398315429688 × 2 - 1) × π
    -0.522796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64241405478236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89072719} λ = 1.89072719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64241405478236))-π/2
    2×atan(0.193512328612477)-π/2
    2×0.19114970289039-π/2
    0.38229940578078-1.57079632675     		φ = -1.18849692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89072719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.330688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18849692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.095857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52489 KachelY 49899 1.89072719 -1.18849692 108.330688 -68.095857
    Oben rechts KachelX + 1 52490 KachelY 49899 1.89082307 -1.18849692 108.336182 -68.095857
    Unten links KachelX 52489 KachelY + 1 49900 1.89072719 -1.18853269 108.330688 -68.097907
    Unten rechts KachelX + 1 52490 KachelY + 1 49900 1.89082307 -1.18853269 108.336182 -68.097907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18849692--1.18853269) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18849692--1.18853269) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89072719-1.89082307) × cos(-1.18849692) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.373054864726286 × 6371000     		do = 227.881116239102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89072719-1.89082307) × cos(-1.18853269) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.373021676749536 × 6371000     		du = 227.860843314386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18849692)-sin(-1.18853269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373054864726286-0.373021676749536)×R²
    abs(1.89082307-1.89072719)×3.31879767503374e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31879767503374e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31879767503374e-05×40589641000000     		ar = 51929.6702602224m²